Exo 1 · Facile Calculer
P(A) = 0,5 et P(A ∩ B) = 0,2. Calcule P_A(B).
Probabilités conditionnelles et indépendance
Première · Probabilités et statistiques · BO 2026 (Première spé)
Probabilité conditionnelle, arbre pondéré, probabilités totales, indépendance.
Étape 01 / 07
Avant de commencer
Question honnête : où en es-tu ?
Sais-tu utiliser un arbre pondéré et la formule des probabilités totales ?
Étape 02 / 07
Prérequis
- Probabilités, événements, P(A) (Seconde).
- Événement contraire et réunion/intersection.
- Tableaux à double entrée et fréquences.
- Calcul fractionnaire.
Étape 03 / 07
Cours
3.1 — Probabilité conditionnelle
La probabilité de B sachant A (avec P(A) ≠ 0), notée P_A(B), vaut P_A(B) = P(A ∩ B) ⁄ P(A). On en déduit P(A ∩ B) = P(A) × P_A(B).
3.2 — Arbre pondéré
Sur un arbre, on multiplie les probabilités le long d'un chemin pour obtenir la probabilité d'une intersection. La somme des branches issues d'un même nœud vaut 1.
3.3 — Probabilités totales
Si A et son contraire Ā partitionnent l'univers : P(B) = P(A ∩ B) + P(Ā ∩ B) = P(A)·P_A(B) + P(Ā)·P_Ā(B). C'est la somme des chemins menant à B.
3.4 — Indépendance
A et B sont indépendants si P(A ∩ B) = P(A) × P(B), ce qui équivaut à P_A(B) = P(B) : savoir que A est réalisé ne change pas la probabilité de B.
Erreur classique
Ne pas confondre P_A(B) et P_B(A) : l'ordre du conditionnement compte. Et « incompatibles » (A ∩ B = ∅) n'est PAS la même chose qu'« indépendants ».
Étape 04 / 07
Exemples résolus
Ex 1 — Conditionnelle
P(A) = 0,4, P(A ∩ B) = 0,1 : P_A(B) = 0,1 ⁄ 0,4 = 0,25.
Ex 2 — Chemin d'arbre
P(A) = 0,6, P_A(B) = 0,3 : P(A ∩ B) = 0,6 × 0,3 = 0,18.
Ex 3 — Probabilités totales
P(A) = 0,6, P_A(B) = 0,3, P(Ā) = 0,4, P_Ā(B) = 0,5 : P(B) = 0,18 + 0,20 = 0,38.
Ex 4 — Indépendance
P(A) = 0,5, P(B) = 0,4, P(A ∩ B) = 0,2 = 0,5 × 0,4 : A et B sont indépendants.
Étape 05 / 07
Exercices d'application
Exo 2 · Facile Calculer
P(A) = 0,7 et P_A(B) = 0,4. Calcule P(A ∩ B).
Exo 3 · Moyen Représenter
Construis un arbre avec P(A) = 0,3, P_A(B) = 0,8 et P_Ā(B) = 0,2, puis calcule P(B).
Exo 4 · Moyen Calculer
Avec les données de l'exercice 3, calcule P_B(A) (probabilité de A sachant B).
Exo 5 · Moyen Raisonner
P(A) = 0,4, P(B) = 0,5, P(A ∩ B) = 0,2. A et B sont-ils indépendants ? Justifie.
Exo 6 · Moyen Modéliser
Dans une classe, 60 % font de l'allemand. Parmi eux, 30 % font aussi espagnol. Quelle proportion fait allemand ET espagnol ?
Exo 7 · Défi Modéliser
Un test détecte une maladie : 99 % de positifs chez les malades, 2 % de faux positifs. La maladie touche 1 % de la population. Calcule la probabilité d'être positif.
Exo 8 · Défi Communiquer
Un élève dit « incompatibles = indépendants ». Donne un contre-exemple et explique la différence.
Étape 06 / 07
Synthèse — À retenir
- P_A(B) = P(A ∩ B) ⁄ P(A).
- P(A ∩ B) = P(A) × P_A(B) (multiplier le long d'un chemin).
- Probabilités totales : P(B) = P(A)·P_A(B) + P(Ā)·P_Ā(B).
- Indépendance : P(A ∩ B) = P(A) × P(B).
- Incompatibles ≠ indépendants.
Étape 07 / 07
Plan de révisions
J+1
Refais exos 1 et 2.
J+7
Refais exos 3 et 5.
J+30
Exos 7 et 8.
Pour aller plus loin
Q1. Pourquoi multiplie-t-on les probabilités le long d'un chemin d'arbre ?
Q2. En quoi indépendance et incompatibilité sont-elles différentes ?