Exo 1 · Facile Calculer
Calcule u⃗ · v⃗ pour : a) u⃗ (1 ; 2), v⃗ (3 ; 4) · b) u⃗ (−2 ; 5), v⃗ (4 ; 1).
Calcul vectoriel et produit scalaire
Première · Géométrie · BO 2026 (Première spé)
Définitions du produit scalaire, expressions, orthogonalité et applications.
Étape 01 / 07
Avant de commencer
Question honnête : où en es-tu ?
Sais-tu calculer un produit scalaire et l'utiliser pour tester l'orthogonalité de deux vecteurs ?
Étape 02 / 07
Prérequis
- Vecteurs, coordonnées, norme (Seconde).
- Cosinus d'un angle.
- Théorème de Pythagore.
- Calcul littéral et développement.
Étape 03 / 07
Cours
3.1 — Avec norme et angle
Pour deux vecteurs non nuls u⃗ et v⃗ formant un angle θ : u⃗ · v⃗ = ‖u⃗‖ × ‖v⃗‖ × cos θ. Le résultat est un nombre réel, pas un vecteur.
3.2 — Avec les coordonnées
Dans un repère orthonormé, si u⃗ (x ; y) et v⃗ (x′ ; y′), alors u⃗ · v⃗ = x x′ + y y′. C'est l'expression la plus pratique pour calculer.
3.3 — Orthogonalité
Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul : u⃗ · v⃗ = 0 ⟺ u⃗ ⊥ v⃗.
3.4 — Propriétés et carré scalaire
Symétrie : u⃗ · v⃗ = v⃗ · u⃗. Bilinéarité : (k u⃗) · v⃗ = k (u⃗ · v⃗). Carré scalaire : u⃗ · u⃗ = ‖u⃗‖². On peut aussi écrire u⃗ · v⃗ = ½(‖u⃗ + v⃗‖² − ‖u⃗‖² − ‖v⃗‖²).
Erreur classique
Le produit scalaire donne un nombre, pas un vecteur. Et u⃗ · v⃗ = 0 ne signifie pas u⃗ = 0⃗ : cela veut dire que les vecteurs sont perpendiculaires.
Étape 04 / 07
Exemples résolus
Ex 1 — Coordonnées
u⃗ (3 ; 2), v⃗ (−1 ; 4) : u⃗ · v⃗ = 3×(−1) + 2×4 = −3 + 8 = 5.
Ex 2 — Orthogonalité
u⃗ (2 ; 6), v⃗ (−3 ; 1) : u⃗ · v⃗ = −6 + 6 = 0, donc u⃗ ⊥ v⃗.
Ex 3 — Angle
‖u⃗‖ = 2, ‖v⃗‖ = 3, θ = 60° : u⃗ · v⃗ = 2 × 3 × cos 60° = 6 × 0,5 = 3.
Ex 4 — Carré scalaire
u⃗ (3 ; 4) : u⃗ · u⃗ = 9 + 16 = 25, donc ‖u⃗‖ = 5.
Étape 05 / 07
Exercices d'application
Exo 2 · Facile Calculer
‖u⃗‖ = 5, ‖v⃗‖ = 4, angle 0°. Calcule u⃗ · v⃗.
Exo 3 · Moyen Raisonner
Les vecteurs u⃗ (6 ; −2) et v⃗ (1 ; 3) sont-ils orthogonaux ? Justifie.
Exo 4 · Moyen Calculer
‖u⃗‖ = 4, ‖v⃗‖ = 3 et u⃗ · v⃗ = 6. Détermine le cosinus de l'angle entre u⃗ et v⃗.
Exo 5 · Moyen Raisonner
Détermine le réel k pour que u⃗ (k ; 3) et v⃗ (2 ; −4) soient orthogonaux.
Exo 6 · Moyen Représenter
A(1 ; 1), B(4 ; 2), C(2 ; 5). Calcule AB⃗ · AC⃗ et dis si l'angle en A est aigu ou obtus.
Exo 7 · Défi Raisonner
A(0 ; 0), B(4 ; 0), C(4 ; 3). Montre, par le produit scalaire, que le triangle ABC est rectangle en B.
Exo 8 · Défi Communiquer
Un élève écrit « u⃗ · v⃗ est un vecteur ». Corrige et explique la nature du produit scalaire.
Étape 06 / 07
Synthèse — À retenir
- u⃗ · v⃗ = ‖u⃗‖ ‖v⃗‖ cos θ = x x′ + y y′ (un nombre réel).
- u⃗ · v⃗ = 0 ⟺ u⃗ ⊥ v⃗.
- u⃗ · u⃗ = ‖u⃗‖².
- Symétrie et bilinéarité.
- Sert à calculer angles, longueurs et à prouver des perpendicularités.
Étape 07 / 07
Plan de révisions
J+1
Refais exos 1 et 3.
J+7
Refais exos 4 et 5.
J+30
Exos 6 et 7.
Pour aller plus loin
Q1. Pourquoi le produit scalaire est-il nul exactement quand les vecteurs sont perpendiculaires ?
Q2. Comment le carré scalaire relie-t-il produit scalaire et norme ?