Exo 1 · Facile Calculer
Calcule le discriminant : a) x² − 7x + 10 · b) x² + 4x + 4 · c) 2x² + x + 3.
Le second degré
Première · Algèbre · BO 2026 (Première spé)
Forme factorisée, canonique, discriminant, somme et produit des racines, signe.
Étape 01 / 07
Avant de commencer
Question honnête : où en es-tu ?
Sais-tu résoudre x² − 5x + 6 = 0 avec le discriminant ?
Étape 02 / 07
Prérequis
- Identités remarquables et factorisation (Seconde).
- Équation produit nul.
- Tableau de signes d'une expression.
- Racines carrées.
Étape 03 / 07
Cours
2.1 — Trinôme et forme canonique
Un trinôme du second degré s'écrit f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0). Sa forme canonique est f(x) = a(x − α)² + β, avec α = −b/(2a) et β = f(α). Le sommet de la parabole est (α ; β).
2.2 — Discriminant
On pose Δ = b² − 4ac. Si Δ > 0 : deux racines x₁,₂ = (−b ± √Δ)/(2a). Si Δ = 0 : une racine double x₀ = −b/(2a). Si Δ < 0 : aucune racine réelle.
2.3 — Factorisation
Si Δ > 0 : f(x) = a(x − x₁)(x − x₂). Si Δ = 0 : f(x) = a(x − x₀)². Si Δ < 0 : pas de factorisation sur les réels.
2.4 — Signe du trinôme
Le trinôme est du signe de a à l'extérieur des racines, du signe opposé entre les racines. Si Δ ≤ 0, il garde le signe de a partout (sauf en x₀ s'il s'annule).
2.5 — Partir de la forme factorisée
Le BO 2026 réorganise ce chapitre : il fait commencer l'étude par la forme factorisée, avant le discriminant.
ƒ(x) = a(x − x₁)(x − x₂)
Sous cette forme, tout se lit immédiatement : les racines sont x₁ et x₂, le signe se déduit d'un tableau à deux facteurs, et le sommet de la parabole a pour abscisse le milieu (x₁ + x₂)/2, par symétrie.
Une capacité attendue nouvelle : déterminer les fonctions polynômes du second degré qui s'annulent en deux réels donnés. Elles s'écrivent toutes a(x − x₁)(x − x₂), avec a quelconque non nul : il en existe une infinité, toutes proportionnelles.
2.6 — Somme et produit des racines
En développant a(x − x₁)(x − x₂) et en identifiant avec ax² + bx + c :
x₁ + x₂ = − b/a · x₁ × x₂ = c/a
C'est un outil de recherche de racines et de contrôle. Pour x² − 7x + 12 : deux nombres dont la somme vaut 7 et le produit 12 → 3 et 4, sans discriminant.
Réciproquement, deux nombres de somme s et de produit p sont les racines de x² − sx + p.
2.7 — Diversifier les stratégies de factorisation
Le programme demande explicitement de ne pas dégainer le discriminant par réflexe. Dans l'ordre de coût :
- racine évidente : tester 0, 1, −1, 2 ; si ƒ(1) = 0, alors (x − 1) est en facteur ;
- somme et produit : chercher deux entiers simples ;
- identité remarquable : reconnaitre x² − 9 ou x² + 6x + 9 ;
- formules générales avec le discriminant, quand rien d'autre ne marche.
Et toujours : choisir la forme adaptée à la question. Développée pour calculer une image, canonique pour l'extremum et les variations, factorisée pour les racines et le signe.
Erreur classique
Δ < 0 ne veut pas dire « erreur » : cela signifie qu'il n'y a pas de racine réelle, donc le trinôme ne change jamais de signe.
Étape 04 / 07
Exemples résolus
Ex 1 — Deux racines
x² − 5x + 6 : Δ = 25 − 24 = 1, racines (5 ± 1)/2 = 3 et 2.
Ex 2 — Racine double
x² − 6x + 9 : Δ = 36 − 36 = 0, racine double x₀ = 3, donc (x − 3)².
Ex 3 — Pas de racine
x² + x + 1 : Δ = 1 − 4 = −3 < 0, aucune racine réelle, signe toujours positif.
Ex 4 — Signe
x² − 5x + 6 (a > 0) : positif pour x < 2 ou x > 3, négatif entre 2 et 3.
Étape 05 / 07
Exercices d'application
Exo 2 · Facile Calculer
Résous : a) x² − 3x − 4 = 0 · b) x² − 8x + 16 = 0 · c) x² + 2x + 5 = 0.
Exo 3 · Moyen Calculer
Factorise quand c'est possible : a) x² − 9x + 20 · b) 3x² − 12 · c) x² + x + 1.
Exo 4 · Moyen Représenter
Donne la forme canonique de x² − 4x + 1 et les coordonnées du sommet de la parabole.
Exo 5 · Moyen Raisonner
Étudie le signe de −x² + 4x − 3 sur ℝ (attention au signe de a).
Exo 6 · Moyen Communiquer
Un élève trouve Δ = −2 et conclut « deux racines ». Explique son erreur.
Exo 7 · Défi Modéliser
Un objet est lancé : sa hauteur est h(t) = −5t² + 20t. À quel instant retombe-t-il au sol ?
Exo 8 · Défi Raisonner
Pour quelles valeurs de m l'équation x² + mx + 1 = 0 a-t-elle une racine double ?
Étape 06 / 07
Synthèse — À retenir
- Forme canonique : a(x − α)² + β, sommet (α ; β), α = −b/(2a).
- Δ = b² − 4ac.
- Δ > 0 : deux racines ; Δ = 0 : une double ; Δ < 0 : aucune.
- Factorisation a(x − x₁)(x − x₂) si Δ ≥ 0.
- Signe de a à l'extérieur des racines.
Étape 07 / 07
Plan de révisions
J+1
Refais exos 1 et 2.
J+7
Refais exos 3 et 5.
J+30
Exos 7 et 8.
Pour aller plus loin
Q1. Comment la forme canonique permet-elle de lire le sommet sans calcul de racines ?
Q2. Pourquoi le signe du trinôme dépend-il du signe de a ?