Exo 1 · Facile Calculer
(uₙ) est arithmétique de premier terme u₀ = 2 et de raison r = 4. Calcule u₁, u₂, u₅ et donne uₙ.
Suites numériques et modèles discrets
Première · Algèbre · BO 2026 (Première spé)
Modes de génération, motifs, suites arithmétiques et géométriques, variations, première idée de limite.
Étape 01 / 07
Avant de commencer
Question honnête : où en es-tu ?
Sais-tu reconnaître une suite arithmétique d'une suite géométrique et calculer son terme général ?
Étape 02 / 07
Prérequis
- Notion de fonction et d'image.
- Pourcentages et coefficient multiplicateur (Seconde).
- Puissances d'exposant entier.
- Calcul littéral et factorisation.
Étape 03 / 07
Cours
2.1 — Définir une suite
Une suite (uₙ) associe à chaque entier n un réel uₙ. On peut la définir de façon explicite (uₙ = f(n)) ou par récurrence (u₀ donné et uₙ₊₁ = f(uₙ)).
2.2 — Suite arithmétique
On passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours la même raison r : uₙ₊₁ = uₙ + r. Terme général : uₙ = u₀ + n r (ou uₙ = uₚ + (n − p) r).
2.3 — Suite géométrique
On multiplie par la même raison q : uₙ₊₁ = q × uₙ. Terme général : uₙ = u₀ × qⁿ. Une évolution à taux constant t % donne q = 1 + t/100.
2.4 — Sens de variation
On étudie le signe de uₙ₊₁ − uₙ. Arithmétique : croissante si r > 0, décroissante si r < 0. Géométrique (à termes positifs) : croissante si q > 1, décroissante si 0 < q < 1.
2.5 — Modèles discrets : générer une suite autrement
Le BO 2026 insiste sur un point : une suite n'arrive pas toujours sous forme de formule. Elle peut être définie par un motif géométrique ou par un dénombrement.
- Nombres figurés : 1, 3, 6, 10, … (nombres triangulaires) ; 1, 4, 9, 16, … (nombres carrés).
- Une configuration qui dépend d'un entier n : nombre d'allumettes du n-ième motif, nombre de diagonales d'un polygone à n côtés.
- Une suite définie par un algorithme.
Le travail attendu est le passage d'un mode de génération à un autre : partir du motif, écrire la relation de récurrence, puis chercher la formule explicite. Les nombres triangulaires donnent un+1 = un + (n + 1), et explicitement un = n(n + 1)/2.
Les suites servent enfin à modéliser des évolutions à temps discret venues des autres disciplines : capital placé, population, décroissance radioactive. Réflexe à automatiser : une évolution à taux fixe se modélise par une suite géométrique, dont la raison est le coefficient multiplicateur.
2.6 — Première idée de limite
Nouveauté du BO 2026 : la première sensibilise à la notion de limite. Aucune formalisation n'est au programme — on conjecture, à partir de calculs numériques et d'algorithmes de seuil.
Trois comportements se rencontrent, et il suffit de savoir les nommer :
- les termes se rapprochent d'un nombre : la suite semble avoir une limite finie (0,9 ; 0,99 ; 0,999 … tend vers 1) ;
- les termes dépassent toute valeur fixée à l'avance : la limite semble infinie (un = n²) ;
- les termes ne se stabilisent pas : la suite n'a pas de limite (un = (−1)n).
Pour une suite géométrique de raison q positive : si q > 1 les termes explosent, si 0 < q < 1 ils tendent vers 0. Un algorithme de seuil permet de trouver le premier rang à partir duquel la suite dépasse (ou passe sous) une valeur donnée.
Piège
Observer les premiers termes ne prouve rien : c'est une conjecture. La démonstration viendra en terminale.
Erreur classique
Ne pas confondre les deux modèles : arithmétique = on ajoute r, géométrique = on multiplie par q. Vérifier laquelle des différences ou des quotients est constante.
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Exemples résolus
Ex 1 — Arithmétique
u₀ = 5, r = 3 : uₙ = 5 + 3n. Donc u₁₀ = 5 + 30 = 35.
Ex 2 — Géométrique
u₀ = 200, q = 1,05 (hausse de 5 %) : uₙ = 200 × 1,05ⁿ. u₃ = 200 × 1,157625 ≈ 231,5.
Ex 3 — Reconnaître
3, 6, 12, 24 : chaque quotient vaut 2, c'est géométrique de raison 2.
Ex 4 — Variation
uₙ = 5 + 3n : uₙ₊₁ − uₙ = 3 > 0, la suite est strictement croissante.
Étape 05 / 07
Exercices d'application
Exo 2 · Facile Calculer
(vₙ) est géométrique avec v₀ = 3 et q = 2. Calcule v₁, v₂, v₄ et donne vₙ.
Exo 3 · Moyen Raisonner
Pour chaque suite, dis si elle est arithmétique, géométrique ou ni l'un ni l'autre : a) 7, 10, 13, 16 · b) 2, 6, 18, 54 · c) 1, 4, 9, 16.
Exo 4 · Moyen Calculer
(uₙ) arithmétique avec u₃ = 11 et u₇ = 23. Détermine la raison r et u₀.
Exo 5 · Moyen Représenter
(uₙ) définie par u₀ = 1 et uₙ₊₁ = 2uₙ + 1. Calcule les 4 premiers termes et représente-les.
Exo 6 · Moyen Communiquer
Un élève affirme que 2, 4, 6, 10 est arithmétique. Montre qu'il a tort.
Exo 7 · Défi Modéliser
Un capital de 1000 € placé à 3 % par an. Modélise par une suite et calcule sa valeur au bout de 5 ans.
Exo 8 · Défi Raisonner
Étudie le sens de variation de la suite uₙ = 1,02ⁿ. Justifie.
Étape 06 / 07
Synthèse — À retenir
- Suite explicite uₙ = f(n) ou par récurrence uₙ₊₁ = f(uₙ).
- Arithmétique : uₙ₊₁ = uₙ + r, uₙ = u₀ + n r.
- Géométrique : uₙ₊₁ = q uₙ, uₙ = u₀ qⁿ.
- Évolution à t % : q = 1 + t/100.
- Variation : signe de uₙ₊₁ − uₙ.
Étape 07 / 07
Plan de révisions
J+1
Refais exos 1 et 2.
J+7
Refais exos 3 et 4.
J+30
Exos 7 et 8.
Pour aller plus loin
Q1. Pourquoi les termes d'une suite arithmétique sont-ils alignés ?
Q2. Quel lien entre suite géométrique et fonction exponentielle ?