Exo 1 · Facile Calculer
X prend 0, 1, 2 avec p = 0,2 ; 0,5 ; 0,3. Vérifie que c'est une loi et calcule E(X).
Variables aléatoires réelles
Première · Probabilités et statistiques · BO 2026 (Première spé)
Loi de probabilité, espérance, variance et écart-type.
Étape 01 / 07
Avant de commencer
Question honnête : où en es-tu ?
Sais-tu dresser la loi d'une variable aléatoire et calculer son espérance ?
Étape 02 / 07
Prérequis
- Probabilités d'un événement (Seconde).
- Moyenne pondérée.
- Calcul fractionnaire et carrés.
- Lecture d'un tableau de valeurs.
Étape 03 / 07
Cours
3.1 — Variable aléatoire
Une variable aléatoire X associe à chaque issue d'une expérience un nombre réel. Sa loi de probabilité donne, pour chaque valeur xᵢ, la probabilité pᵢ = P(X = xᵢ). La somme des pᵢ vaut 1.
3.2 — Espérance
L'espérance E(X) = x₁p₁ + x₂p₂ + … + xₙpₙ est la moyenne des valeurs pondérées par leurs probabilités. C'est le gain moyen attendu si on répète l'expérience un grand nombre de fois.
3.3 — Variance et écart-type
La variance V(X) = Σ pᵢ(xᵢ − E(X))² = E(X²) − E(X)² mesure la dispersion autour de l'espérance. L'écart-type est σ(X) = √V(X).
3.4 — Linéarité de l'espérance
Pour des réels a et b : E(aX + b) = a E(X) + b, et V(aX + b) = a² V(X). Utile pour un jeu où on transforme les gains.
Erreur classique
La variance utilise les carrés des écarts : c'est V(aX) = a² V(X), PAS a V(X). Et σ s'exprime dans la même unité que X, contrairement à la variance.
Étape 04 / 07
Exemples résolus
Ex 1 — Loi
X prend les valeurs 1, 2, 3 avec p₁ = 0,5, p₂ = 0,3, p₃ = 0,2. Somme = 1 : c'est bien une loi.
Ex 2 — Espérance
E(X) = 1×0,5 + 2×0,3 + 3×0,2 = 0,5 + 0,6 + 0,6 = 1,7.
Ex 3 — Variance
E(X²) = 1×0,5 + 4×0,3 + 9×0,2 = 3,5. V(X) = 3,5 − 1,7² = 3,5 − 2,89 = 0,61.
Ex 4 — Jeu équitable
Un jeu coûte 2 € ; gain G d'espérance E(G) = 0 ⟺ jeu équitable. Si E(G) < 0, défavorable au joueur.
Étape 05 / 07
Exercices d'application
Exo 2 · Facile Raisonner
Une variable prend 4 et 10 avec p₁ = 0,7. Quelle est p₂ ? Calcule E(X).
Exo 3 · Moyen Calculer
X prend −1, 0, 3 avec p = 0,4 ; 0,4 ; 0,2. Calcule E(X) puis V(X).
Exo 4 · Moyen Calculer
Avec l'exercice 3, calcule l'écart-type σ(X) (valeur arrondie au centième).
Exo 5 · Moyen Modéliser
On lance un dé équilibré. X = numéro obtenu. Dresse la loi et calcule E(X).
Exo 6 · Moyen Raisonner
E(X) = 3 et V(X) = 2. Calcule E(2X + 1) et V(2X + 1).
Exo 7 · Défi Modéliser
À une loterie, un ticket coûte 3 €. On gagne 10 € avec probabilité 0,2 et rien sinon. Le jeu est-il favorable au joueur ?
Exo 8 · Défi Communiquer
Un élève écrit V(3X) = 3V(X). Corrige et explique pourquoi on élève au carré.
Étape 06 / 07
Synthèse — À retenir
- Loi de X : valeurs xᵢ et probabilités pᵢ, avec Σ pᵢ = 1.
- E(X) = Σ xᵢ pᵢ (gain moyen).
- V(X) = E(X²) − E(X)² et σ(X) = √V(X).
- E(aX + b) = a E(X) + b.
- V(aX + b) = a² V(X).
Étape 07 / 07
Plan de révisions
J+1
Refais exos 1 et 2.
J+7
Refais exos 3 et 4.
J+30
Exos 7 et 8.
Pour aller plus loin
Q1. Pourquoi l'espérance représente-t-elle une moyenne sur un grand nombre de répétitions ?
Q2. Que signifie un écart-type grand ou petit pour un jeu ?