Exo 1 · Facile Calculer
Donne le quotient et le reste de la division euclidienne de a) 53 par 7 · b) 100 par 9 · c) 250 par 12.
Arithmétique
Seconde · Nombres et calculs · BO 2026 (Seconde GT)
Multiples et diviseurs, division euclidienne, nombres premiers et décomposition.
Étape 01 / 07
Avant de commencer
Question honnête : où en es-tu ?
Sais-tu décomposer 360 en produit de facteurs premiers ?
Étape 02 / 07
Prérequis
- Tables de multiplication et division posée.
- Critères de divisibilité par 2, 3, 5, 9, 10 (5e).
- Notion de multiple et de diviseur.
- Puissances d'exposant entier.
Étape 03 / 07
Cours
2.1 — Multiples et diviseurs
b divise a (a et b entiers) s'il existe un entier k tel que a = b × k. On dit alors que a est un multiple de b et que b est un diviseur de a.
2.2 — Division euclidienne
Diviser a par b (b ≠ 0) donne un quotient q et un reste r uniques tels que a = b × q + r, avec 0 ≤ r < b. Le reste est nul si et seulement si b divise a.
2.3 — Nombres premiers
Un nombre premier a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. Les premiers : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23… Le nombre 1 n'est pas premier.
2.4 — Décomposition en facteurs premiers
Tout entier supérieur à 1 s'écrit de façon unique comme produit de nombres premiers. On divise successivement par les premiers croissants.
Erreur classique
9 n'est pas premier (9 = 3 × 3), 1 non plus. Pour tester si un nombre est premier, il suffit de chercher un diviseur premier jusqu'à sa racine carrée.
Étape 04 / 07
Exemples résolus
Ex 1 — Division euclidienne
47 = 6 × 7 + 5 : quotient 7, reste 5. Comme 5 ≠ 0, 6 ne divise pas 47.
Ex 2 — Diviseurs
Diviseurs de 12 : 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Ex 3 — Décomposition
360 = 2³ × 3² × 5.
Ex 4 — Simplifier une fraction
84/126 = (2²×3×7)/(2×3²×7) = 2/3.
Étape 05 / 07
Exercices d'application
Exo 2 · Facile Calculer
Liste tous les diviseurs de a) 18 · b) 24 · c) 36.
Exo 3 · Facile Raisonner
Parmi 21, 23, 27, 29, 31, 33 : lesquels sont premiers ? Justifie.
Exo 4 · Moyen Calculer
Décompose en produit de facteurs premiers : a) 84 · b) 240 · c) 1001.
Exo 5 · Moyen Calculer
Simplifie en utilisant les décompositions : a) 90/126 · b) 360/420.
Exo 6 · Moyen Communiquer
Yanis affirme que 51 est premier. Montre qu'il a tort.
Exo 7 · Défi Raisonner
Un nombre a pour décomposition 2³ × 5². Combien a-t-il de diviseurs au total ?
Exo 8 · Défi Modéliser
On veut ranger 84 stylos et 126 cahiers en lots identiques sans reste. Quel est le plus grand nombre de lots possible ?
Étape 06 / 07
Synthèse — À retenir
- b divise a s'il existe un entier k avec a = b × k.
- Division euclidienne : a = b × q + r avec 0 ≤ r < b.
- Un nombre premier a exactement deux diviseurs.
- Tout entier > 1 se décompose de façon unique en facteurs premiers.
- La décomposition sert à simplifier des fractions et trouver le PGCD.
Étape 07 / 07
Plan de révisions
J+1
Refais exos 1 et 2.
J+7
Refais exos 4 et 5.
J+30
Exos 7 et 8.
Pour aller plus loin
Q1. Pourquoi suffit-il de tester les diviseurs jusqu'à √n pour savoir si n est premier ?
Q2. Comment retrouver le PGCD de deux nombres à partir de leurs décompositions ?