Calcul littéral et comparaison

Développer = transformer un produit en somme avec la distributivité : (a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd. Réduire = regrouper les termes semblables.

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a − b)² = a² − 2ab + b²

(a + b)(a − b) = a² − b²

Factoriser = transformer une somme en produit. Trois pistes : facteur commun, identité reconnue à l'envers, ou différence de carrés a² − b² = (a+b)(a−b).

x² − 49 = x² − 7² = (x + 7)(x − 7).

Développée, factorisée : ce sont deux écritures du même nombre. Le programme demande de choisir celle qui résout le problème posé.

• calculer une image, comparer à une valeur → forme développée réduite ;
• chercher les valeurs qui annulent, étudier un signe → forme factorisée.

C'est le premier réflexe à prendre : avant de calculer, se demander quelle écriture répond à la question.

Le BO 2026 met en avant deux façons de comparer deux quantités, qui ne racontent pas la même chose.

• Comparaison additive : on calcule la différence A − B. On l'interprète en variation absolue : « il y a 300 € de plus ».
• Comparaison multiplicative : pour deux nombres strictement positifs, on calcule le rapport (ou ratio) A / B. On l'interprète en variation multiplicative : « c'est 1,4 fois plus », soit 40 % de plus.

Comparer deux expressions littérales A et B revient donc souvent à étudier le signe de A − B : si A − B > 0, alors A > B.

On peut additionner membre à membre deux inégalités de même sens : si a ⩽ b et c ⩽ d, alors a + c ⩽ b + d.

Multiplier une inégalité par un réel : le sens est conservé si le réel est positif, inversé s'il est négatif.

a ⩽ b et k > 0 ⇒ ka ⩽ kb  ·  a ⩽ b et k < 0 ⇒ ka ⩾ kb

C'est exactement le sens de variation d'une fonction affine : croissante si le coefficient directeur est positif, décroissante s'il est négatif.