Exo 1 · Facile Calculer
Écris sous la forme d'une seule puissance : a) 5⁴ × 5² · b) 7⁶ ÷ 7² · c) (2³)² · d) 10⁻³ × 10⁵.
Calcul numérique
Seconde · Nombres et calculs · BO 2026 (Seconde GT)
Puissances et leurs règles, racines carrées, notation scientifique.
Étape 01 / 07
Avant de commencer
Question honnête : où en es-tu ?
Sais-tu simplifier √50 et écrire 0,00042 en notation scientifique ?
Étape 02 / 07
Prérequis
- Puissances d'exposant entier (4e).
- Racine carrée : √a est le nombre positif dont le carré vaut a.
- Priorités opératoires.
- Multiplier/diviser par 10, 100, 1000.
Étape 03 / 07
Cours
2.1 — Règles sur les puissances
- aⁿ × aᵐ = aⁿ⁺ᵐ
- aⁿ ÷ aᵐ = aⁿ⁻ᵐ
- (aⁿ)ᵐ = aⁿˣᵐ
- a⁰ = 1 · a⁻ⁿ = 1/aⁿ
- (a×b)ⁿ = aⁿ × bⁿ
Exemple : 2³ × 2⁵ = 2⁸ = 256.
2.2 — Propriétés des racines carrées
- √a × √b = √(a×b) (avec a, b ≥ 0)
- √a ÷ √b = √(a/b) (b > 0)
- (√a)² = a · √(a²) = |a|
En général √(a+b) ≠ √a + √b.
2.3 — Simplifier une racine
On sort les carrés parfaits : √50 = √(25×2) = √25 × √2 = 5√2. De même √72 = √(36×2) = 6√2.
2.4 — Notation scientifique
Tout nombre s'écrit a × 10ⁿ avec 1 ≤ a < 10. On déplace la virgule, l'exposant compte les rangs.
42 000 = 4,2 × 10⁴ · 0,00042 = 4,2 × 10⁻⁴.
Erreur classique
√(a²) = |a|, pas a. Pour a = −3 : √((−3)²) = √9 = 3 = |−3|. On ne « simplifie » la racine d'un carré que si on sait que le nombre est positif.
Étape 04 / 07
Exemples résolus
Ex 1 — Puissances
(3²)⁴ × 3⁻⁵ = 3⁸ × 3⁻⁵ = 3³ = 27.
Ex 2 — Produit de racines
√8 × √2 = √16 = 4.
Ex 3 — Simplifier
√98 = √(49×2) = 7√2.
Ex 4 — Notation scientifique
(3 × 10⁵) × (2 × 10⁻²) = 6 × 10³ = 6000.
Étape 05 / 07
Exercices d'application
Exo 2 · Facile Calculer
Calcule : a) √36 · b) √(25×4) · c) (√7)² · d) √(16/49).
Exo 3 · Moyen Calculer
Simplifie : a) √12 · b) √45 · c) √200 · d) √(18) + √(8).
Exo 4 · Moyen Calculer
Écris en notation scientifique : a) 358 000 · b) 0,0067 · c) 12 × 10⁵ · d) 0,03 × 10⁻²·
Exo 5 · Moyen Calculer
Calcule et donne en notation scientifique : (4 × 10⁶) × (2,5 × 10⁻³).
Exo 6 · Moyen Communiquer
Tom écrit √(9 + 16) = 3 + 4 = 7. Explique son erreur et donne la bonne valeur.
Exo 7 · Défi Raisonner
Montre que √(50) − √(8) + √(18) = 6√2.
Exo 8 · Défi Modéliser
Une bactérie mesure 2 × 10⁻⁶ m. Combien en faut-il alignées pour atteindre 1 mm (10⁻³ m) ?
Étape 06 / 07
Synthèse — À retenir
- aⁿ × aᵐ = aⁿ⁺ᵐ · aⁿ ÷ aᵐ = aⁿ⁻ᵐ · (aⁿ)ᵐ = aⁿˣᵐ.
- a⁻ⁿ = 1/aⁿ · a⁰ = 1.
- √a × √b = √(ab) ; √(a²) = |a| ; (√a)² = a.
- Simplifier = sortir les carrés parfaits.
- Notation scientifique : a × 10ⁿ avec 1 ≤ a < 10.
Étape 07 / 07
Plan de révisions
J+1
Refais exos 1 et 2.
J+7
Refais exos 3 et 4.
J+30
Exos 7 et 8.
Pour aller plus loin
Q1. Pourquoi √2 n'est-il pas un nombre décimal ?
Q2. Combien vaut (10⁻³)² en notation scientifique ?