Exo 1 · Facile Raisonner
Vrai ou faux : a) −5 ∈ ℕ · b) 3,2 ∈ 𝔻 · c) 1/7 ∈ ℚ · d) π ∈ ℝ · e) √9 ∈ ℤ.
Nombres réels, intervalles et valeur absolue
Seconde · Nombres et calculs · BO 2026 (Seconde GT)
Ensembles ℕ, ℤ, 𝔻, ℚ, ℝ, intervalles, valeur absolue et distance.
Étape 01 / 07
Avant de commencer
Question honnête : où en es-tu ?
Sais-tu traduire « x compris entre −2 et 5, 5 exclu » avec un intervalle ?
Étape 02 / 07
Prérequis
- Nombres entiers, décimaux, fractions, relatifs.
- Droite graduée, repérage d'un nombre.
- Comparer et ranger des nombres.
- Distance entre deux points sur une droite graduée.
Étape 03 / 07
Cours
2.1 — Les ensembles de nombres
- ℕ : entiers naturels (0, 1, 2, …)
- ℤ : entiers relatifs (…, −2, −1, 0, 1, …)
- 𝔻 : décimaux (écriture décimale finie, ex. 1,25)
- ℚ : rationnels (quotient de deux entiers, ex. 2/3)
- ℝ : réels (tous les nombres de la droite, ex. √2, π)
Chacun est inclus dans le suivant : ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ.
2.2 — Appartenance et inclusion
∈ relie un nombre à un ensemble : −3 ∈ ℤ mais −3 ∉ ℕ. ⊂ relie deux ensembles : ℤ ⊂ ℝ.
2.3 — Intervalles de ℝ
Crochet fermé [ ] = borne incluse, crochet ouvert ] [ = borne exclue. L'infini est toujours ouvert.
Exemples : [3 ; 7] = nombres entre 3 et 7 inclus · ]−∞ ; 0[ = nombres strictement négatifs.
2.4 — Réunion ∪ et intersection ∩
∩ (intersection) = ce qui est dans les deux à la fois. ∪ (réunion) = ce qui est dans l'un OU l'autre.
[1 ; 6] ∩ [4 ; 9] = [4 ; 6] · [1 ; 3] ∪ [2 ; 8] = [1 ; 8].
2.5 — Valeur absolue et distance
La valeur absolue |x| est la distance de x à 0 ; elle est toujours positive. |−4| = 4, |7| = 7.
La distance entre deux nombres a et b est |a − b|. Distance entre −3 et 5 : |−3 − 5| = 8.
Le BO 2026 est explicite : en seconde, la valeur absolue sert à exprimer une distance et à caractériser des intervalles. Toute autre utilisation est hors programme.
2.6 — Intervalles de centre donné : |x − a| ⩽ r
C'est la façon la plus économique de décrire un intervalle : on donne son centre et son rayon.
|x − a| ⩽ r ⇔ x ∈ [a − r ; a + r]
« La distance de x à a est au plus r » : x est donc à moins de r de a, d'un côté ou de l'autre.
Exemple : |x − 3| ⩽ 2 décrit l'intervalle [1 ; 5], de centre 3 et de rayon 2. Réciproquement, [7 ; 13] a pour centre 10 et pour rayon 3, donc s'écrit |x − 10| ⩽ 3.
C'est ainsi qu'on exprime une tolérance en physique ou en production : « une pièce de 50 mm à 0,2 mm près » s'écrit |L − 50| ⩽ 0,2.
Piège
Pour trouver le centre et le rayon d'un intervalle [a ; b] : centre = (a + b) ÷ 2, rayon = (b − a) ÷ 2. Le rayon est la demi-longueur.
Erreur classique
|x| n'est pas « enlever le signe moins » mécaniquement : |x| vaut x si x ≥ 0, et −x si x < 0. Pour une lettre, on ne peut pas conclure sans connaître son signe.
Étape 04 / 07
Exemples résolus
Ex 1 — Appartenance
2/5 ∈ ℚ et ∈ 𝔻 (car 2/5 = 0,4). En revanche 1/3 ∈ ℚ mais ∉ 𝔻 (écriture décimale infinie).
Ex 2 — Traduire en intervalle
« x ≥ −1 et x < 4 » s'écrit x ∈ [−1 ; 4[.
Ex 3 — Intersection
]−∞ ; 5] ∩ [0 ; +∞[ = [0 ; 5].
Ex 4 — Distance
Distance entre 12 et 4,5 : |12 − 4,5| = 7,5.
Étape 05 / 07
Exercices d'application
Exo 2 · Facile Représenter
Traduis en intervalle : a) x > 3 · b) −2 ≤ x ≤ 6 · c) x ≤ 0 · d) 1 < x ≤ 9.
Exo 3 · Moyen Représenter
Représente sur une droite graduée puis écris l'intervalle : « nombres à distance au plus 3 de 2 ».
Exo 4 · Moyen Calculer
Calcule : a) |−9| · b) |0| · c) |3 − 11| · d) la distance entre −7 et −2.
Exo 5 · Moyen Raisonner
Détermine : a) [−1 ; 5] ∩ [2 ; 8] · b) [−1 ; 5] ∪ [2 ; 8] · c) ]−∞ ; 4[ ∩ [4 ; +∞[.
Exo 6 · Moyen Communiquer
Léa écrit |x| = −x est « toujours faux ». A-t-elle raison ? Dans quel cas est-ce vrai ?
Exo 7 · Défi Chercher
Donne un nombre qui appartient à ℚ mais pas à 𝔻, et un nombre de ℝ qui n'appartient pas à ℚ.
Exo 8 · Défi Raisonner
Décris par une condition sur |x| l'ensemble [−5 ; 5]. Même question pour ]−3 ; 3[.
Étape 06 / 07
Synthèse — À retenir
- ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ.
- ∈ relie un nombre et un ensemble ; ⊂ relie deux ensembles.
- Crochet fermé = borne incluse ; ouvert = exclue ; ∞ toujours ouvert.
- ∩ = les deux ; ∪ = l'un ou l'autre.
- |x| = distance à 0 ; distance entre a et b = |a − b|.
Étape 07 / 07
Plan de révisions
J+1
Refais exos 1 et 2.
J+7
Refais exos 4 et 5.
J+30
Exos 7 et 8.
Pour aller plus loin
Q1. Pourquoi 0,999… est-il égal à 1 ? Lien avec ℚ.
Q2. L'ensemble [2 ; 2] contient combien de nombres ? Et ]2 ; 2[ ?