Exo 1 · Facile Calculer
Résous : a) 4x + 7 = 19 · b) 6x − 5 = 2x + 11 · c) 3(x − 2) = x + 4.
Équations et inéquations
Seconde · Nombres et calculs · BO 2026 (Seconde GT)
Résoudre une équation, l'équation produit nul, les inéquations et le tableau de signes.
Étape 01 / 07
Avant de commencer
Question honnête : où en es-tu ?
Sais-tu résoudre (x − 2)(x + 5) = 0 et l'inéquation 3x − 1 ≤ 8 ?
Étape 02 / 07
Prérequis
- Résoudre une équation du premier degré (4e/3e).
- Développer et factoriser (calcul littéral).
- Règles de signes d'un produit et d'un quotient.
- Repérer un nombre sur une droite graduée.
Étape 03 / 07
Cours
2.1 — Équation du premier degré
On isole l'inconnue : on ajoute/soustrait le même terme aux deux membres, puis on divise par le coefficient de x. Résoudre ax + b = 0 (a ≠ 0) donne x = −b/a.
2.2 — Équation produit nul
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul : A × B = 0 équivaut à A = 0 ou B = 0. On résout alors chaque facteur séparément.
2.3 — Signe de ax + b
L'expression ax + b s'annule en x = −b/a. Elle est du signe de a après cette valeur, du signe opposé avant. On résume dans un tableau de signes.
2.4 — Inéquation du premier degré
On isole x comme pour une équation. Attention : multiplier ou diviser par un nombre négatif inverse le sens de l'inégalité. La solution est un intervalle.
Erreur classique
−2x < 6 ne donne pas x < −3 mais x > −3 : en divisant par −2 (négatif), le sens change. Toujours surveiller le signe du diviseur.
Étape 04 / 07
Exemples résolus
Ex 1 — Premier degré
5x − 3 = 2x + 9 → 3x = 12 → x = 4.
Ex 2 — Produit nul
(x − 2)(x + 5) = 0 → x = 2 ou x = −5.
Ex 3 — Se ramener au produit nul
x² − 9 = 0 → (x − 3)(x + 3) = 0 → x = 3 ou x = −3.
Ex 4 — Inéquation
3x − 1 ≤ 8 → 3x ≤ 9 → x ≤ 3, soit x ∈ ]−∞ ; 3].
Étape 05 / 07
Exercices d'application
Exo 2 · Facile Calculer
Résous l'équation produit nul : a) (x − 1)(x + 6) = 0 · b) x(2x − 8) = 0 · c) (3x + 1)(x − 4) = 0.
Exo 3 · Moyen Calculer
Factorise puis résous : a) x² − 16 = 0 · b) x² + 7x = 0 · c) 4x² − 25 = 0.
Exo 4 · Moyen Calculer
Résous les inéquations : a) 2x − 3 > 5 · b) 5 − x ≤ 1 · c) −3x + 2 ≥ 8.
Exo 5 · Moyen Représenter
Dresse le tableau de signes de a) 2x − 6 · b) −x + 4 · c) 3x + 9.
Exo 6 · Moyen Communiquer
Nadia résout −4x > 12 et trouve x > −3. Repère et corrige son erreur.
Exo 7 · Défi Modéliser
Un taxi facture 4 € de prise en charge puis 1,20 €/km. Pour quelle distance la course dépasse-t-elle 25 € ?
Exo 8 · Défi Raisonner
Résous (2x − 1)(x + 3) = (2x − 1)(5 − x) en factorisant par (2x − 1).
Étape 06 / 07
Synthèse — À retenir
- ax + b = 0 (a ≠ 0) → x = −b/a.
- A × B = 0 équivaut à A = 0 ou B = 0.
- Pour une équation du type x² = k, on factorise par identité.
- Inéquation : diviser par un négatif inverse le sens.
- Le tableau de signes résume où ax + b est positif ou négatif.
Étape 07 / 07
Plan de révisions
J+1
Refais exos 1 et 2.
J+7
Refais exos 3 et 4.
J+30
Exos 7 et 8.
Pour aller plus loin
Q1. Pourquoi une équation produit nul peut-elle avoir deux solutions ?
Q2. Résous l'inéquation produit (x − 1)(x + 2) > 0 à l'aide d'un tableau de signes.