Exo 1 · Facile Calculer
Calcule a) 5² · b) (−4)² · c) 2³ · d) (−2)³ · e) √49 · f) 1/0,5.
Fonctions de référence et tableaux de signes
Seconde · Fonctions · BO 2026 (Seconde GT)
Carré, inverse, racine, cube, valeur absolue, et tableaux de signes.
Étape 01 / 07
Avant de commencer
Question honnête : où en es-tu ?
Sais-tu reconnaître la courbe de x ↦ x², de x ↦ 1/x et leurs variations ?
Étape 02 / 07
Prérequis
- Sens de variation, tableau de variation (chapitre précédent).
- Carré, cube, racine carrée et inverse d'un nombre.
- Le carré d'un nombre est toujours positif ou nul.
- On ne divise pas par 0 ; √x existe seulement pour x ≥ 0.
Étape 03 / 07
Cours
2.1 — Fonction carré : x ↦ x²
Définie sur ℝ. Décroissante sur ]−∞ ; 0], croissante sur [0 ; +∞[. Minimum 0 en x = 0. Courbe = parabole, symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (fonction paire).
2.2 — Fonction inverse : x ↦ 1/x
Définie sur ℝ privé de 0. Décroissante sur ]−∞ ; 0[ et sur ]0 ; +∞[ (jamais sur ℝ entier). Courbe = hyperbole en deux branches, symétrique par rapport à l'origine (fonction impaire).
2.3 — Fonction racine carrée : x ↦ √x
Définie sur [0 ; +∞[. Croissante sur tout son ensemble de définition. Part de l'origine, monte de plus en plus doucement. Ni paire, ni impaire.
2.4 — Fonction cube : x ↦ x³
Définie sur ℝ. Croissante sur ℝ entier. Symétrique par rapport à l'origine (fonction impaire).
2.5 — Fonction valeur absolue : x ↦ |x|
Ajoutée aux fonctions de référence par le BO 2026. Définie sur ℝ, à valeurs positives.
La courbe est un V de sommet l'origine : c'est la réunion de la droite y = −x pour x ⩽ 0 et de la droite y = x pour x ⩾ 0.
- Variations : décroissante sur ] −∞ ; 0 ], croissante sur [ 0 ; +∞ [.
- Minimum : 0, atteint en x = 0.
- Signe : positive partout, nulle seulement en 0.
- Fonction paire : la courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
2.6 — Tableau de signes d'un produit ou d'un quotient
C'est l'outil qui permet de résoudre les inéquations que l'algèbre seule ne donne pas.
Méthode. 1) On factorise pour obtenir un produit ou un quotient de facteurs simples. 2) On cherche la valeur qui annule chaque facteur. 3) On dresse le tableau et on donne le signe de chaque facteur. 4) On multiplie les signes colonne par colonne.
Un facteur du premier degré ax + b est du signe de a après sa racine, et du signe contraire avant.
Pour un quotient, la démarche est la même, à une différence près : la valeur qui annule le dénominateur est une valeur interdite. On la marque par une double barre, et elle ne fait jamais partie de l'ensemble des solutions.
Piège
On ne « fait pas passer » le dénominateur de l'autre côté dans une inéquation : son signe est inconnu, donc on ne sait pas si l'inégalité change de sens. Le tableau de signes est là pour ça.
2.7 — Équation quotient et ensemble de définition
Résoudre A(x) / B(x) = k commence toujours par la même question : pour quelles valeurs l'expression existe-t-elle ?
On exclut donc d'abord les valeurs qui annulent B, puis on résout A(x) = k × B(x), et enfin on vérifie que les solutions trouvées appartiennent bien à l'ensemble de définition.
De même, A(x) × B(x) = 0 équivaut à « A(x) = 0 ou B(x) = 0 » : c'est l'équation produit nul.
Erreur classique
La fonction inverse n'est pas décroissante sur ℝ : par exemple 1/(−2) = −0,5 et 1/(2) = 0,5, donc passer d'un négatif à un positif augmente la valeur. On dit qu'elle est décroissante sur chaque intervalle, séparément.
Étape 04 / 07
Exemples résolus
Ex 1 — Comparer avec le carré
Comparer 1,4² et 1,41² sans calculer : la fonction carré est croissante sur [0 ; +∞[ et 1,4 < 1,41, donc 1,4² < 1,41².
Ex 2 — Comparer avec l'inverse
Comparer 1/3 et 1/5 : sur ]0 ; +∞[ l'inverse est décroissante et 3 < 5, donc 1/3 > 1/5.
Ex 3 — Parité
Pour f(x) = x² : f(−3) = 9 = f(3). L'image d'un nombre et de son opposé est la même ⟹ fonction paire.
Ex 4 — Reconnaître une courbe
Une courbe passant par l'origine, croissante puis « aplatie », définie seulement pour x ≥ 0 : c'est x ↦ √x.
Étape 05 / 07
Exercices d'application
Exo 2 · Facile Raisonner
Sans calculatrice, compare en justifiant par les variations : a) 7² et 9² · b) √10 et √15.
Exo 3 · Moyen Raisonner
Compare 1/4 et 1/9, puis 1/(−2) et 1/(−5). Précise l'intervalle utilisé à chaque fois.
Exo 4 · Moyen Représenter
Pour chaque fonction (carré, inverse, racine, cube), donne l'ensemble de définition et le sens de variation.
Exo 5 · Moyen Raisonner
Indique si la fonction est paire, impaire, ou aucune des deux : a) x ↦ x² · b) x ↦ x³ · c) x ↦ 1/x · d) x ↦ √x.
Exo 6 · Moyen Communiquer
Sami affirme : « x ↦ 1/x est décroissante sur ℝ ». Donne un calcul qui prouve qu'il a tort.
Exo 7 · Défi Chercher
Résous x² = 5 puis x³ = 5 (valeurs exactes avec √ ou approchées). Combien de solutions chacune ?
Exo 8 · Défi Modéliser
L'aire d'un carré de côté c est A(c) = c². De quelle fonction de référence s'agit-il ? Pourquoi se limite-t-on à c ≥ 0 ?
Étape 06 / 07
Synthèse — À retenir
- Carré (ℝ) : décroît puis croît, minimum 0, parabole, paire.
- Inverse (ℝ privé de 0) : décroissante sur chaque branche, hyperbole, impaire.
- Racine ([0 ; +∞[) : croissante, part de l'origine.
- Cube (ℝ) : croissante sur ℝ, impaire.
- Paire ⟺ courbe symétrique par rapport à l'axe Oy ; impaire ⟺ symétrique par rapport à l'origine.
Étape 07 / 07
Plan de révisions
J+1
Redessine les 4 courbes de mémoire.
J+7
Refais exos 3 et 5.
J+30
Exo 7 + tableau récap variations/parité.
Pour aller plus loin
Q1. Pourquoi (−2)² = 4 mais (−2)³ = −8 ? Quel lien avec la parité ?
Q2. Sur un même repère, où les courbes de x ↦ x² et x ↦ √x se croisent-elles ?