Exo 1 · Facile Représenter
Place dans un repère A(2 ; 3), B(−1 ; 4) et C(0 ; −2).
Géométrie repérée
Seconde · Géométrie · BO 2026 (Seconde GT)
Coordonnées d'un point, milieu d'un segment et distance dans le plan.
Étape 01 / 07
Avant de commencer
Question honnête : où en es-tu ?
Sais-tu calculer la distance entre A(1 ; 2) et B(4 ; 6) ?
Étape 02 / 07
Prérequis
- Repère orthonormé, abscisse et ordonnée (5e/4e).
- Théorème de Pythagore.
- Racines carrées et calcul numérique.
- Lire et placer un point dans un repère.
Étape 03 / 07
Cours
2.1 — Coordonnées d'un point
Dans un repère, un point M est repéré par un couple (x ; y) : x est l'abscisse (axe horizontal), y l'ordonnée (axe vertical).
2.2 — Milieu d'un segment
Le milieu I de [AB] a pour coordonnées la moyenne des coordonnées : x_I = (x_A + x_B)/2 et y_I = (y_A + y_B)/2.
2.3 — Distance entre deux points
Dans un repère orthonormé : AB = √((x_B − x_A)² + (y_B − y_A)²). C'est Pythagore appliqué au triangle rectangle formé par les écarts.
Erreur classique
La formule de distance n'est valable que dans un repère orthonormé (axes perpendiculaires, même unité). Ne pas oublier le carré ni la racine finale.
Étape 04 / 07
Exemples résolus
Ex 1 — Milieu
A(2 ; 3), B(6 ; 1) : I = ((2+6)/2 ; (3+1)/2) = (4 ; 2).
Ex 2 — Distance
A(1 ; 2), B(4 ; 6) : AB = √(3² + 4²) = √25 = 5.
Ex 3 — Triangle isocèle
Comparer AB et AC en calculant les deux distances permet de prouver l'isocélie.
Ex 4 — Quatrième sommet
Pour un parallélogramme ABCD, le milieu de [AC] égale celui de [BD] : on en déduit D.
Étape 05 / 07
Exercices d'application
Exo 2 · Facile Calculer
Calcule les coordonnées du milieu de [AB] pour a) A(2 ; 4), B(8 ; 6) · b) A(−3 ; 1), B(5 ; −7).
Exo 3 · Moyen Calculer
Calcule AB pour a) A(0 ; 0), B(6 ; 8) · b) A(−2 ; 1), B(3 ; 13).
Exo 4 · Moyen Raisonner
A(1 ; 2), B(4 ; 6), C(0 ; 5). Le triangle ABC est-il isocèle ? Justifie par le calcul.
Exo 5 · Moyen Raisonner
Montre que A(1 ; 1), B(4 ; 2), C(3 ; 5), D(0 ; 4) forment un parallélogramme (milieux des diagonales).
Exo 6 · Moyen Communiquer
Sans repère orthonormé, un élève applique la formule de distance. Explique pourquoi c'est faux.
Exo 7 · Défi Chercher
A(2 ; 1) et B(8 ; 9). Détermine les coordonnées du point C de [AB] tel que AC = 3 × CB.
Exo 8 · Défi Raisonner
Montre que le triangle A(0 ; 0), B(4 ; 0), C(2 ; 2√3) est équilatéral.
Étape 06 / 07
Synthèse — À retenir
- Un point se repère par (x ; y) : abscisse puis ordonnée.
- Milieu : moyenne des coordonnées.
- Distance (repère orthonormé) : AB = √((x_B − x_A)² + (y_B − y_A)²).
- Égalité des milieux des diagonales ⇒ parallélogramme.
- Comparer des distances prouve isocèle / équilatéral.
Étape 07 / 07
Plan de révisions
J+1
Refais exos 2 et 3.
J+7
Refais exos 4 et 5.
J+30
Exos 7 et 8.
Pour aller plus loin
Q1. Pourquoi la formule de distance vient-elle du théorème de Pythagore ?
Q2. Comment prouver qu'un quadrilatère est un losange avec les distances ?