Exo 1 · Facile Raisonner
Pour chaque implication, dis si elle est vraie : a) « carré ⇒ losange » · b) « n pair ⇒ n divisible par 4 ».
Logique et raisonnement
Seconde · Logique et ensembles · BO 2026 (Seconde GT)
Implication, équivalence, contre-exemple, connecteurs et et ou.
Étape 01 / 07
Avant de commencer
Question honnête : où en es-tu ?
Sais-tu prouver qu'une affirmation est fausse à l'aide d'un contre-exemple ?
Étape 02 / 07
Prérequis
- Vocabulaire « si… alors » au collège.
- Notion de propriété et de définition.
- Calcul littéral et exemples numériques.
- Lire une condition mathématique.
Étape 03 / 07
Cours
2.1 — Implication
« P implique Q » (P ⇒ Q) signifie : si P est vraie alors Q est vraie. P est une condition suffisante pour Q ; Q est nécessaire pour P.
2.2 — Équivalence
« P équivaut à Q » (P ⇔ Q) signifie P ⇒ Q et Q ⇒ P. Les deux propriétés sont vraies en même temps. On dit « si et seulement si ».
2.3 — Contre-exemple
Pour prouver qu'une affirmation générale est fausse, il suffit d'un seul cas qui la contredit : un contre-exemple. Un seul exemple ne prouve jamais qu'une affirmation est vraie.
2.4 — Connecteurs « et » / « ou »
« P et Q » est vraie si les deux le sont. « P ou Q » (ou inclusif) est vraie si au moins l'une l'est. La négation de « P et Q » est « non P ou non Q ».
Erreur classique
P ⇒ Q n'est pas la même chose que Q ⇒ P. « Si carré alors rectangle » est vrai, mais « si rectangle alors carré » est faux.
Étape 04 / 07
Exemples résolus
Ex 1 — Implication
« n divisible par 4 ⇒ n divisible par 2 » est vraie. La réciproque est fausse (6 est divisible par 2, pas par 4).
Ex 2 — Équivalence
« x² = 9 ⇔ x = 3 ou x = −3 » : les deux sens sont vrais.
Ex 3 — Contre-exemple
« Tout nombre premier est impair » est faux : 2 est premier et pair.
Ex 4 — Négation
La négation de « x > 0 et x < 5 » est « x ≤ 0 ou x ≥ 5 ».
Étape 05 / 07
Exercices d'application
Exo 2 · Facile Raisonner
Donne la réciproque de « si un triangle est équilatéral alors il est isocèle » et dis si elle est vraie.
Exo 3 · Moyen Raisonner
Trouve un contre-exemple : a) « tout entier est somme de deux carrés » · b) « x² > x pour tout x ».
Exo 4 · Moyen Raisonner
Les propositions sont-elles équivalentes ? « x = 2 » et « x² = 4 ». Justifie.
Exo 5 · Moyen Communiquer
Écris la négation de « tous les élèves ont leur calculatrice ».
Exo 6 · Moyen Communiquer
Un élève dit qu'un exemple suffit à prouver une propriété générale. Explique pourquoi c'est faux.
Exo 7 · Défi Raisonner
Donne la négation de « x ≥ 1 et x ≤ 7 », puis traduis-la avec un intervalle.
Exo 8 · Défi Chercher
« Si un nombre se termine par 0 alors il est divisible par 5. » La réciproque est-elle vraie ? Justifie.
Étape 06 / 07
Synthèse — À retenir
- P ⇒ Q : condition suffisante / nécessaire.
- P ⇔ Q : les deux implications, « si et seulement si ».
- Un contre-exemple suffit à réfuter ; un exemple ne prouve pas.
- « et » : les deux ; « ou » inclusif : au moins une.
- Négation de « P et Q » = « non P ou non Q ».
Étape 07 / 07
Plan de révisions
J+1
Refais exos 1 et 2.
J+7
Refais exos 3 et 4.
J+30
Exos 7 et 8.
Pour aller plus loin
Q1. Pourquoi un seul contre-exemple suffit-il à réfuter une affirmation générale ?
Q2. Quelle différence entre condition nécessaire et condition suffisante ?