Exo 1 · Facile Calculer
P(A) = 0,4 et PA(B) = 0,25. Calcule P(A ∩ B).
Probabilités conditionnelles et arbres
Seconde · Statistiques et probabilités · BO 2026 (Seconde GT)
Conditionner par un évènement, lire un arbre pondéré, ne pas confondre P_A(B) et P_B(A).
Étape 01 / 07
Avant de commencer
Question honnête : où en es-tu ?
« 90 % des malades sont positifs » et « 90 % des positifs sont malades » : sais-tu dire pourquoi ce n'est pas la même chose ?
Étape 02 / 07
Prérequis
- Modèle probabiliste : univers, issues, évènements (chapitre « Probabilités »).
- Évènement contraire, réunion, intersection.
- Proportions et fréquences (chapitre « Information chiffrée »).
- Tableau croisé d'effectifs (chapitre « Croisement de deux variables qualitatives »).
Étape 03 / 07
Cours
2.1 — La loi des grands nombres, version vulgarisée
Une probabilité n'est pas une fréquence observée : c'est un nombre du modèle. Mais les deux se rejoignent quand on répète beaucoup.
Lorsque n est grand, sauf exception, la fréquence observée est proche de la probabilité.
C'est ce qui autorise, dans l'autre sens, à construire un modèle à partir de fréquences observées (lancer de punaise, sexe à la naissance) quand aucune symétrie ne permet de supposer l'équiprobabilité.
Piège
Une loi de probabilité est une hypothèse du modèle : elle ne se démontre pas. Dire « le dé est équilibré » est un choix qu'on assume, pas un théorème.
2.2 — Probabilité conditionnelle
Conditionner, c'est se restreindre à une sous-population : on ne regarde plus tout l'univers, mais seulement la partie où A est réalisé.
PA(B) = probabilité de B sachant que A est réalisé (avec P(A) ≠ 0)
Dans le cas de l'équiprobabilité sur une population, cela se lit directement sur les effectifs :
P(A) = Card(A) / Card(Ω) · PB(A) = Card(A ∩ B) / Card(B)
Autrement dit : le dénominateur n'est plus l'effectif total, c'est l'effectif de la condition.
2.3 — L'arbre pondéré
Un arbre range les conditionnements. Sur chaque branche du deuxième niveau, on lit une probabilité conditionnelle.
- La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut 1.
- La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités rencontrées : P(A ∩ B) = P(A) × PA(B).
C'est exactement la définition de la probabilité conditionnelle, lue dans l'autre sens.
2.4 — Passer du français aux symboles
La difficulté est presque toujours de traduire l'énoncé. Le mot qui suit « sachant », « parmi » ou « chez » donne la condition.
- « Parmi les fumeurs, 20 % sont malades » → PF(M) = 0,20.
- « 20 % des malades fument » → PM(F) = 0,20.
- « 20 % des gens sont des fumeurs malades » → P(F ∩ M) = 0,20.
Trois phrases, trois nombres différents. Toujours identifier sur quoi porte le pourcentage.
2.5 — Inverser le conditionnement : les faux positifs
Un test de dépistage se décrit par deux nombres conditionnels :
- la sensibilité : la probabilité d'être positif sachant qu'on est malade ;
- la spécificité : la probabilité d'être négatif sachant qu'on est sain.
Ce que veut savoir la personne testée est l'inverse : la probabilité d'être malade sachant qu'elle est positive. Quand la maladie est rare, ce nombre peut rester faible même avec un très bon test, parce que les faux positifs issus de l'énorme population saine sont plus nombreux que les vrais positifs.
Piège
PA(B) et PB(A) ne sont pas égales, et l'écart peut être énorme. C'est l'erreur de raisonnement la plus fréquente dans les médias.
Hors attendu du programme : calculer P(B) à partir d'une partition de l'univers (formule des probabilités totales). En seconde, on lit l'arbre ou le tableau.
Étape 04 / 07
Exemples résolus
Ex 1 — Lire un tableau croisé
Sur 200 élèves : 120 demi-pensionnaires, dont 45 en LV2 allemand. PDP(All) = 45 / 120 = 0,375. Alors que P(All ∩ DP) = 45 / 200 = 0,225.
Ex 2 — Chemin d'un arbre
P(A) = 0,3 et PA(B) = 0,8 : P(A ∩ B) = 0,3 × 0,8 = 0,24.
Ex 3 — Traduire
« 70 % des personnes vaccinées n'ont pas eu la grippe » → PV(Ḡ) = 0,70, donc PV(G) = 0,30.
Ex 4 — Faux positifs
Maladie touchant 1 personne sur 1 000, test sensible à 99 % et spécifique à 99 %. Sur 100 000 personnes : 100 malades dont 99 positifs, et 99 900 saines dont 999 positives. Parmi les 1 098 positifs, seulement 99 sont malades : environ 9 %.
Étape 05 / 07
Exercices d'application
Exo 2 · Facile Représenter
Traduis en écriture symbolique : a) « parmi les internes, 30 % font du sport » · b) « 30 % des sportifs sont internes ».
Exo 3 · Facile Calculer
Dans une classe de 30 élèves, 18 filles, dont 12 étudient l'espagnol. Calcule la probabilité qu'un élève tiré au sort étudie l'espagnol sachant que c'est une fille.
Exo 4 · Moyen Représenter Calculer
Une urne contient 5 boules rouges et 3 noires. On tire deux boules sans remise. Construis l'arbre pondéré, puis calcule la probabilité d'obtenir deux rouges.
Exo 5 · Moyen Modéliser
Une usine a deux chaines : A fournit 60 % de la production avec 2 % de défauts, B fournit 40 % avec 5 % de défauts. Fais l'arbre. Quelle est la probabilité qu'une pièce vienne de A et soit défectueuse ?
Exo 6 · Moyen Communiquer
Un article titre : « 80 % des accidentés de la route ne portaient pas la ceinture, donc la ceinture ne sert à rien puisque 20 % la portaient ». Explique en quoi le raisonnement inverse les conditionnements.
Exo 7 · Défi Chercher Raisonner
Une maladie touche 2 % de la population. Le test est positif chez 95 % des malades et chez 6 % des personnes saines. Sur 10 000 personnes, dresse le tableau croisé, puis calcule la probabilité d'être malade sachant que le test est positif. Commente.
Exo 8 · Défi Raisonner
Peut-on avoir PA(B) = PB(A) sans que A et B soient le même évènement ? Cherche une condition sur P(A) et P(B).
Étape 06 / 07
Synthèse — À retenir
- Loi des grands nombres (version vulgarisée) : pour n grand, la fréquence observée est proche de la probabilité.
- PA(B) : on se restreint à A. Le dénominateur devient l'effectif de la condition.
- Sur un arbre : les branches d'un même nœud somment à 1 ; un chemin se calcule en multipliant.
- P(A ∩ B) = P(A) × PA(B).
- PA(B) ≠ PB(A) — c'est tout l'enjeu des faux positifs.
- Hors attendu en 2ᵈᵉ : la formule des probabilités totales.
Étape 07 / 07
Plan de révisions
J+1
Refais l'exercice 4 en changeant les effectifs.
J+7
Refais les exercices 5 et 7 sans regarder le cours.
J+30
Reprends l'exemple des faux positifs avec une maladie plus fréquente.
Pour aller plus loin
Q1. Que devient la probabilité d'être malade sachant qu'on est positif si la maladie touche 20 % de la population au lieu de 2 % ?
Q2. Deux évènements sont dits indépendants quand PA(B) = P(B). Que devient alors P(A ∩ B) ?