Statistique descriptive (écart type, classes)

La moyenne est la somme des valeurs divisée par l'effectif. La médiane partage la série rangée en deux moitiés de même effectif : au moins la moitié des valeurs lui sont inférieures ou égales.

Le premier quartile Q1 est la plus petite valeur telle qu'au moins 25 % des données lui sont inférieures ou égales ; Q3 pour 75 %. Ils découpent la série en quatre.

L'étendue = max − min. L'écart interquartile = Q3 − Q1 mesure la dispersion autour de la médiane en ignorant les valeurs extrêmes.

L'écart type mesure la dispersion autour de la moyenne. C'est le compagnon naturel de la moyenne, comme l'écart interquartile est celui de la médiane.

On calcule d'abord la variance : la moyenne des carrés des écarts à la moyenne. L'écart type en est la racine carrée, ce qui lui redonne l'unité de la série.

variance = moyenne des (valeur − moyenne)²  ·  écart type = √variance

En pratique on l'obtient à la calculatrice ou au tableur. Ce qu'on attend de toi, c'est de l'interpréter : plus il est grand, plus les valeurs sont éparpillées autour de la moyenne. Un écart type nul signifie que toutes les valeurs sont égales.

Si on ajoute le même nombre b à toutes les valeurs, la moyenne augmente de b. Si on multiplie toutes les valeurs par a, la moyenne est multipliée par a.

moyenne de (ax + b) = a × moyenne(x) + b

Ajouter une valeur à la série déplace la moyenne vers cette valeur : au-dessus de la moyenne, elle la fait monter ; en dessous, elle la fait baisser. La médiane, elle, bouge beaucoup moins : c'est ce qui la rend robuste aux valeurs extrêmes.

Quand la variable est continue (une taille, un temps), on regroupe les données en classes de même amplitude.

• Histogramme : chaque classe est un rectangle ; à amplitudes égales, c'est la hauteur qui porte l'effectif.
• Polygone des fréquences cumulées : on cumule les fréquences classe après classe et on relie les points.

Moyenne : on la calcule comme une moyenne pondérée, à partir de la moyenne et de l'effectif de chaque classe. Si l'on suppose la répartition uniforme dans chaque classe, cette moyenne est le centre de la classe.

Médiane : on repère d'abord la classe médiane, celle où les effectifs cumulés dépassent la moitié. On peut ensuite estimer la médiane en supposant la répartition uniforme dans cette classe, en lisant le polygone des fréquences cumulées.

Deux séries de même moyenne peuvent être très différentes : on compare aussi leur dispersion pour décrire la régularité.

On compare par couples cohérents : moyenne et écart type, ou médiane et écart interquartile. On ne mélange pas une moyenne d'un côté avec une médiane de l'autre.