Exo 1 · Facile Calculer
Résous par substitution : a) y = x + 1 et 2x + y = 7 · b) x = 2y et x + y = 9.
Systèmes de deux équations
Seconde · Géométrie · BO 2026 (Seconde GT)
Résoudre par substitution et par combinaison, interpréter graphiquement.
Retiré du programme de seconde par le BO 2026. Le nouveau programme (arrêté du 26 février 2026) ne mentionne plus les systèmes de deux équations à deux inconnues. Le chapitre reste en ligne : il rend service pour la physique-chimie, la SNT et les problèmes de deux droites sécantes, et il sera réutile en spécialité. Il n'est simplement plus exigible.
Étape 01 / 07
Avant de commencer
Question honnête : où en es-tu ?
Sais-tu résoudre le système x + y = 7 et 2x − y = 2 ?
Étape 02 / 07
Prérequis
- Résoudre une équation du premier degré.
- Équation de droite y = mx + p.
- Calcul littéral, substitution d'une expression.
- Mise en équation d'un problème.
Étape 03 / 07
Cours
2.1 — Qu'est-ce qu'un système ?
Un système de deux équations à deux inconnues cherche un couple (x ; y) qui vérifie les deux équations en même temps. Géométriquement : le point d'intersection de deux droites.
2.2 — Méthode par substitution
On exprime une inconnue en fonction de l'autre dans une équation, puis on la remplace dans la seconde. On obtient une équation à une seule inconnue.
2.3 — Méthode par combinaison
On additionne ou soustrait les équations (éventuellement multipliées) pour éliminer une inconnue. Pratique quand les coefficients se correspondent.
2.4 — Nombre de solutions
Droites sécantes : une solution unique. Droites parallèles distinctes : aucune solution. Droites confondues : une infinité.
Erreur classique
Après avoir trouvé une inconnue, ne pas oublier de calculer l'autre, puis de vérifier le couple dans les deux équations.
Étape 04 / 07
Exemples résolus
Ex 1 — Substitution
x + y = 7 donne y = 7 − x. Dans 2x − y = 2 : 2x − (7 − x) = 2 → 3x = 9 → x = 3, y = 4.
Ex 2 — Combinaison
3x + 2y = 16 et 3x − y = 4. Soustraire : 3y = 12 → y = 4, puis x = 8/3… on vérifie.
Ex 3 — Pas de solution
y = 2x + 1 et y = 2x − 3 : droites parallèles distinctes, aucune solution.
Ex 4 — Problème
2 cafés + 3 thés = 11 € ; 1 café + 1 thé = 4,5 €. On pose c et t, puis on résout.
Étape 05 / 07
Exercices d'application
Exo 2 · Facile Calculer
Résous par combinaison : a) x + y = 10 et x − y = 2 · b) 2x + y = 8 et x − y = 1.
Exo 3 · Moyen Calculer
Résous : a) 3x + 2y = 12 et x − y = 1 · b) 4x − 3y = 5 et 2x + y = 8.
Exo 4 · Moyen Représenter
Résous graphiquement y = x + 2 et y = −2x + 5, puis vérifie par le calcul.
Exo 5 · Moyen Raisonner
Combien de solutions a le système y = 3x − 1 et 6x − 2y = 2 ? Justifie.
Exo 6 · Moyen Modéliser
Au cinéma, 2 adultes et 3 enfants paient 31 € ; 1 adulte et 2 enfants paient 18 €. Prix de chaque place ?
Exo 7 · Défi Modéliser
Un alliage de 100 g contient de l'or à 8 €/g et de l'argent à 0,5 €/g, valeur totale 230 €. Quelles masses ?
Exo 8 · Défi Chercher
Trouve deux nombres dont la somme vaut 25 et la différence 7.
Étape 06 / 07
Synthèse — À retenir
- Un système cherche le couple (x ; y) vérifiant les deux équations.
- Substitution : exprimer une inconnue puis remplacer.
- Combinaison : éliminer une inconnue en additionnant/soustrayant.
- Géométriquement : intersection de deux droites.
- Toujours vérifier le couple dans les deux équations.
Étape 07 / 07
Plan de révisions
J+1
Refais exos 1 et 2.
J+7
Refais exos 3 et 6.
J+30
Exos 7 et 8.
Pour aller plus loin
Q1. Pourquoi deux droites parallèles distinctes donnent-elles un système sans solution ?
Q2. Quelle méthode choisir selon la forme des équations ?