Exo 1 · Facile Représenter
Une courbe monte sur [−4 ; 1] puis descend sur [1 ; 6]. Décris les variations et donne la nature de l'extremum en 1.
Variations et extremums
Seconde · Fonctions · BO 2026 (Seconde GT)
Sens de variation, fonction croissante / décroissante, tableau de variation, maximum et minimum sur un intervalle.
Étape 01 / 07
Avant de commencer
Question honnête : où en es-tu ?
Sais-tu lire un tableau de variation et repérer le maximum d'une courbe ?
Étape 02 / 07
Prérequis
- Image et antécédent (chapitre Généralités sur les fonctions).
- Lecture d'une courbe représentative.
- Comparer deux nombres, ordre sur un intervalle.
- Notation des intervalles : [a ; b], ]−∞ ; a].
Étape 03 / 07
Cours
2.1 — Fonction croissante / décroissante
Sur un intervalle I, f est croissante si elle conserve l'ordre : quand a < b, alors f(a) ≤ f(b) (la courbe monte).
f est décroissante si elle inverse l'ordre : quand a < b, alors f(a) ≥ f(b) (la courbe descend).
2.2 — Lire les variations sur la courbe
On lit toujours de gauche à droite : la courbe monte (croissante) puis descend (décroissante). Le point le plus haut donne le maximum.
2.3 — Tableau de variation
Il résume les variations : flèche montante = croissante, flèche descendante = décroissante. Aux bornes, on note les valeurs prises par f.
2.4 — Maximum et minimum
Sur un intervalle, le maximum est la plus grande valeur atteinte par f ; le minimum la plus petite. On précise toujours en quel x elle est atteinte.
« f admet un maximum de 5, atteint en x = 3 ».
Erreur classique
Le maximum est une valeur de f (une ordonnée), pas l'abscisse où il est atteint. Maximum = 5 ; il est atteint en x = 3. Ne pas répondre « le maximum est 3 ».
Étape 04 / 07
Exemples résolus
Ex 1 — Décrire les variations
Une courbe descend sur ]−∞ ; 0] puis monte sur [0 ; +∞[ : f est décroissante puis croissante, avec un minimum en 0.
Ex 2 — Comparer sans calculer
f est croissante sur [2 ; 10]. Comme 3 < 7, on a f(3) ≤ f(7), sans connaître l'expression de f.
Ex 3 — Lire un extremum
Sur la courbe du cours : maximum de la fonction = 5, atteint en x = 3.
Ex 4 — Tableau → phrase
Tableau : f croît de −∞ à 1 puis décroît. Donc f admet un maximum en x = 1.
Étape 05 / 07
Exercices d'application
Exo 2 · Facile Raisonner
f est croissante sur [0 ; 20]. Compare f(5) et f(12), puis f(0) et f(20).
Exo 3 · Moyen Raisonner
g est décroissante sur ℝ. Range dans l'ordre croissant : g(−1), g(4), g(0).
Exo 4 · Moyen Représenter
Construis le tableau de variation d'une fonction f définie sur [−3 ; 5], décroissante sur [−3 ; 1] (de 8 à −2) puis croissante sur [1 ; 5] (de −2 à 6).
Exo 5 · Moyen Représenter
D'après ton tableau de l'exo 4 : quel est le minimum de f, en quel x est-il atteint ?
Exo 6 · Moyen Communiquer
Tom dit : « le maximum de la fonction est 3 car la courbe monte jusqu'à x = 3 ». Corrige sa phrase.
Exo 7 · Défi Modéliser
La hauteur (en m) d'un ballon est h(t) = −5t² + 20t. Calcule h(0), h(2), h(4) ; déduis-en quand le ballon est au plus haut et sa hauteur maximale.
Exo 8 · Défi Chercher
Une fonction peut-elle être à la fois croissante et décroissante sur le même intervalle ? Que peut-on dire si elle est croissante ET décroissante sur [2 ; 5] ?
Étape 06 / 07
Synthèse — À retenir
- Croissante : conserve l'ordre (a < b ⟹ f(a) ≤ f(b)), la courbe monte.
- Décroissante : inverse l'ordre, la courbe descend.
- On lit les variations de gauche à droite.
- Le tableau de variation résume tout avec des flèches ↗ ↘.
- Un extremum est une valeur de f (ordonnée), atteinte en un certain x.
Étape 07 / 07
Plan de révisions
J+1
Refais exos 2 et 3.
J+7
Refais exos 4 et 5 (tableau de variation).
J+30
Exo 7 + relire la différence maximum / abscisse.
Pour aller plus loin
Q1. Comment reconnaît-on graphiquement qu'une fonction est croissante puis décroissante sans calcul ?
Q2. Pour h(t) = −5t² + 20t, retrouve le sommet en utilisant la symétrie de la parabole.