Exo 1 · Facile Calculer
Calcule les coordonnées de AB : a) A(0 ; 0), B(3 ; 5) · b) A(2 ; 1), B(−1 ; 4) · c) A(−3 ; 2), B(1 ; −2).
Vecteurs et problèmes de géométrie
Seconde · Géométrie · BO 2026 (Seconde GT)
Vecteurs, coordonnées, déterminant, colinéarité, milieu et méthodes de résolution.
Étape 01 / 07
Avant de commencer
Question honnête : où en es-tu ?
Sais-tu trouver les coordonnées du vecteur AB avec A(1 ; 2) et B(4 ; 7) ?
Étape 02 / 07
Prérequis
- Coordonnées d'un point dans un repère.
- Translation (4e).
- Milieu d'un segment.
- Calcul avec des nombres relatifs.
Étape 03 / 07
Cours
2.1 — Définition d'un vecteur
Un vecteur AB caractérise une translation : il a une direction, un sens et une longueur (sa norme). Deux vecteurs égaux ont mêmes direction, sens et longueur.
2.2 — Coordonnées d'un vecteur
Le vecteur AB a pour coordonnées (x_B − x_A ; y_B − y_A). Sa norme vaut √((x_B − x_A)² + (y_B − y_A)²).
2.3 — Somme de vecteurs
On additionne les coordonnées : si u(a ; b) et v(c ; d), alors u + v a pour coordonnées (a + c ; b + d). Relation de Chasles : AB + BC = AC.
2.4 — Le déterminant et la colinéarité
Dans une base orthonormée, on appelle déterminant des vecteurs u(a ; b) et v(c ; d) le nombre :
det(u ; v) = ad − bc
Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul. Ils ont alors la même direction.
C'est l'outil de base pour trois questions qui n'en font qu'une :
- alignement de A, B, C : les vecteurs AB et AC sont-ils colinéaires ?
- parallélisme de (AB) et (CD) : les vecteurs AB et CD sont-ils colinéaires ?
- appartenance d'un point à une droite.
Autre caractérisation, équivalente : les coordonnées sont proportionnelles. Le déterminant est simplement le produit en croix de ce tableau de proportionnalité.
2.5 — Norme, distance et milieu
Dans une base orthonormée, la norme du vecteur u(a ; b) se calcule par Pythagore :
‖u‖ = √(a² + b²) · AB = √((xB − xA)² + (yB − yA)²)
Caractérisation vectorielle du milieu. I est le milieu de [AB] si et seulement si :
AI = IB (vecteurs) · ce qui donne I ( (xA + xB)/2 ; (yA + yB)/2 )
L'écriture vectorielle est souvent plus rapide que les coordonnées : elle se manipule sans repère, et se réutilise telle quelle dans les démonstrations.
2.6 — Choisir sa méthode
Un même problème de géométrie se traite de plusieurs façons : vectorielle (avec ou sans repère), repérée (par les coordonnées), ou géométrique (par les configurations du collège).
Le programme demande explicitement de savoir en changer. Repère + coordonnées quand les données sont numériques ; calcul vectoriel quand l'énoncé parle de milieux, de parallélismes ou de points définis les uns par rapport aux autres.
Erreur classique
Coordonnées de AB = fin − début, soit B − A, pas A − B. Inverser donne le vecteur opposé BA.
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Exemples résolus
Ex 1 — Coordonnées
A(1 ; 2), B(4 ; 7) : AB a pour coordonnées (4 − 1 ; 7 − 2) = (3 ; 5).
Ex 2 — Norme
Pour AB(3 ; 4), norme = √(3² + 4²) = √25 = 5.
Ex 3 — Somme
u(2 ; −1) + v(3 ; 5) = (5 ; 4).
Ex 4 — Colinéarité
u(2 ; 3) et v(4 ; 6) : 2×6 − 3×4 = 0, donc colinéaires.
Étape 05 / 07
Exercices d'application
Exo 2 · Facile Calculer
Calcule la norme du vecteur a) u(6 ; 8) · b) v(5 ; 12) · c) w(−3 ; 4).
Exo 3 · Moyen Calculer
u(3 ; −2) et v(1 ; 5). Calcule les coordonnées de a) u + v · b) u − v · c) 2u.
Exo 4 · Moyen Raisonner
Les vecteurs u(4 ; 6) et v(6 ; 9) sont-ils colinéaires ? Justifie.
Exo 5 · Moyen Raisonner
A(1 ; 1), B(3 ; 4), C(7 ; 10). Montre que A, B, C sont alignés (colinéarité de AB et AC).
Exo 6 · Moyen Représenter
Place A(1 ; 2) et trace le point D image de A par la translation de vecteur u(3 ; −1).
Exo 7 · Défi Chercher
ABCD est un parallélogramme avec A(1 ; 2), B(5 ; 3), C(6 ; 6). Trouve D avec AB = DC.
Exo 8 · Défi Raisonner
Pour quelle valeur de k les vecteurs u(k ; 3) et v(4 ; 6) sont-ils colinéaires ?
Étape 06 / 07
Synthèse — À retenir
- AB a pour coordonnées (x_B − x_A ; y_B − y_A).
- Norme = √(a² + b²).
- Somme : on additionne les coordonnées ; Chasles AB + BC = AC.
- u(a ; b) et v(c ; d) colinéaires ⇔ ad − bc = 0.
- Colinéarité ⇒ points alignés ou droites parallèles.
Étape 07 / 07
Plan de révisions
J+1
Refais exos 1 et 2.
J+7
Refais exos 3 et 4.
J+30
Exos 7 et 8.
Pour aller plus loin
Q1. Pourquoi la colinéarité permet-elle de prouver un alignement ?
Q2. Quel lien entre vecteur colinéaire et coefficient directeur d'une droite ?