Exo 1 · Facile Calculer
Calcule : a) 4! · b) 6! ⁄ 4! · c) C(5, 2).
Combinatoire et dénombrement
Terminale · Algèbre · BO 2019 (Terminale spé)
Principe multiplicatif, k-uplets, permutations, combinaisons et coefficients binomiaux.
Étape 01 / 07
Avant de commencer
Question honnête : où en es-tu ?
Sais-tu différencier une permutation d'une combinaison et calculer un coefficient binomial ?
Étape 02 / 07
Prérequis
- Notion d'ensemble et de cardinal.
- Produit et puissances d'entiers.
- Probabilités et arbres (Première).
- Manipulation des fractions.
Étape 03 / 07
Cours
3.1 — Principe multiplicatif
Si un choix se fait en plusieurs étapes indépendantes offrant respectivement n₁, n₂, …, nₖ possibilités, le nombre total de résultats est n₁ × n₂ × … × nₖ. Le nombre de k-uplets d'un ensemble à n éléments est nᵏ.
3.2 — Permutations et factorielle
Une permutation est un rangement ordonné des n éléments d'un ensemble. Il y en a n! = n × (n−1) × … × 2 × 1, avec 0! = 1. Un k-uplet d'éléments distincts (arrangement) compte n × (n−1) × … × (n−k+1) possibilités.
3.3 — Combinaisons
Une combinaison de k éléments parmi n est un sous-ensemble (l'ordre ne compte pas). Leur nombre est le coefficient binomial C(n, k) = n! ⁄ (k!(n−k)!).
3.4 — Propriétés des coefficients binomiaux
Symétrie : C(n, k) = C(n, n−k). Relation de Pascal : C(n, k) + C(n, k+1) = C(n+1, k+1). De plus C(n, 0) = C(n, n) = 1. La somme d'une ligne du triangle vaut 2ⁿ.
Erreur classique
Si l'ordre compte → arrangement ou k-uplet ; si l'ordre ne compte pas → combinaison. Un tirage « simultané » sous-entend presque toujours une combinaison.
Étape 04 / 07
Exemples résolus
Ex 1 — Principe multiplicatif
Un menu : 3 entrées, 4 plats, 2 desserts → 3 × 4 × 2 = 24 menus possibles.
Ex 2 — Permutation
Nombre de façons de classer 5 coureurs : 5! = 120.
Ex 3 — Combinaison
Choisir 2 délégués parmi 10 : C(10, 2) = 10×9 ⁄ 2 = 45.
Ex 4 — Symétrie
C(8, 6) = C(8, 2) = 28.
Étape 05 / 07
Exercices d'application
Exo 2 · Facile Calculer
Combien de codes de 4 chiffres (de 0 à 9, répétitions autorisées) peut-on former ?
Exo 3 · Moyen Modéliser
Dans une classe de 30 élèves, on choisit un bureau ordonné président-secrétaire-trésorier. Combien de bureaux possibles ?
Exo 4 · Moyen Modéliser
On tire simultanément 3 cartes parmi 52. Combien de tirages possibles ?
Exo 5 · Moyen Raisonner
Vérifie la relation de Pascal C(5, 2) + C(5, 3) = C(6, 3) par le calcul.
Exo 6 · Moyen Raisonner
Combien d'anagrammes (avec répétitions) du mot « MATHS » ? Et du mot « ETETE » ?
Exo 7 · Défi Modéliser
Une urne contient 5 boules rouges et 3 vertes. On en tire 4 simultanément. Combien de tirages contiennent exactement 2 rouges ?
Exo 8 · Défi Communiquer
Un élève écrit C(n, k) = n! ⁄ k!. Explique l'erreur et donne la formule correcte.
Étape 06 / 07
Synthèse — À retenir
- Principe multiplicatif : n₁ × n₂ × … ; k-uplets : nᵏ.
- Permutations de n éléments : n!.
- Combinaison : C(n, k) = n! ⁄ (k!(n−k)!) — l'ordre ne compte pas.
- C(n, k) = C(n, n−k) et Pascal : C(n, k) + C(n, k+1) = C(n+1, k+1).
- Somme d'une ligne du triangle de Pascal = 2ⁿ.
Étape 07 / 07
Plan de révisions
J+1
Refais exos 1 et 2.
J+7
Refais exos 3 et 4.
J+30
Exos 7 et 8.
Pour aller plus loin
Q1. Comment décider entre arrangement et combinaison face à un problème ?
Q2. Quel lien entre les coefficients binomiaux et la loi binomiale ?