Exo 1 · Facile Calculer
X a pour espérance 5 et variance 2. Calcule σ(X).
Concentration et loi des grands nombres
Terminale · Probabilités et statistiques · BO 2019 (Terminale spé)
Inégalités de concentration, Bienaymé-Tchebychev et loi des grands nombres.
Étape 01 / 07
Avant de commencer
Question honnête : où en es-tu ?
Sais-tu pourquoi une moyenne sur un grand échantillon « se rapproche » de l'espérance ?
Étape 02 / 07
Prérequis
- Variable aléatoire, espérance E(X).
- Variance V(X) et écart-type σ(X).
- Loi binomiale (chapitre précédent).
- Notion d'échantillon.
Étape 03 / 07
Cours
3.1 — Variance et écart-type
La variance V(X) = E((X − E(X))²) mesure la dispersion autour de l'espérance ; l'écart-type est σ(X) = √(V(X)). Plus σ est petit, plus les valeurs sont concentrées autour de la moyenne.
3.2 — Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
Pour tout réel δ > 0 : P(|X − E(X)| ≥ δ) ≤ V(X) ⁄ δ². Elle majore la probabilité de s'écarter de l'espérance de plus de δ, quelle que soit la loi.
3.3 — Moyenne d'un échantillon
Soit Mₙ = (X₁ + … + Xₙ) ⁄ n la moyenne de n variables identiques indépendantes d'espérance μ et de variance σ². Alors E(Mₙ) = μ et V(Mₙ) = σ² ⁄ n : la variance diminue quand n augmente.
3.4 — Loi des grands nombres
Pour tout δ > 0 : P(|Mₙ − μ| ≥ δ) ≤ σ² ⁄ (n δ²) ⟶ 0 quand n ⟶ +∞. Autrement dit, la moyenne observée se rapproche de l'espérance quand l'échantillon grandit. C'est ce qui justifie l'estimation par fréquences.
Erreur classique
L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne une majoration, souvent grossière : elle ne donne pas la probabilité exacte. Et la loi des grands nombres concerne la moyenne, pas une réalisation isolée.
Étape 04 / 07
Exemples résolus
Ex 1 — Majoration
X d'espérance 10 et variance 4. Majore P(|X − 10| ≥ 4) ≤ 4 ⁄ 4² = 0,25.
Ex 2 — Variance de la moyenne
σ² = 9, n = 100 : V(Mₙ) = 9 ⁄ 100 = 0,09 ; σ(Mₙ) = 0,3.
Ex 3 — Échantillon
Majore P(|M₁₀₀ − μ| ≥ 1) ≤ 9 ⁄ (100 × 1²) = 0,09.
Ex 4 — Taille suffisante
Pour que σ² ⁄ (n δ²) ≤ 0,05 avec σ² = 9 et δ = 1 : n ≥ 9 ⁄ 0,05 = 180.
Étape 05 / 07
Exercices d'application
Exo 2 · Facile Calculer
σ² = 16, n = 64. Calcule V(Mₙ) puis σ(Mₙ).
Exo 3 · Moyen Calculer
X d'espérance 20 et variance 9. Majore P(|X − 20| ≥ 6).
Exo 4 · Moyen Calculer
σ² = 4. Majore P(|Mₙ − μ| ≥ 0,5) pour n = 100.
Exo 5 · Moyen Raisonner
Explique pourquoi V(Mₙ) = σ² ⁄ n tend vers 0 quand n grandit.
Exo 6 · Moyen Calculer
σ² = 25, δ = 2. Quel n garantit P(|Mₙ − μ| ≥ 2) ≤ 0,1 ?
Exo 7 · Défi Modéliser
Un sondage sur une proportion p = 0,5 (variance maximale 0,25). Quel échantillon n pour que P(|fréquence − p| ≥ 0,05) ≤ 0,05 (Bienaymé) ?
Exo 8 · Défi Communiquer
Un joueur dit : « j'ai perdu 5 fois, je vais forcément gagner. » En quoi confond-il loi des grands nombres et événement isolé ?
Étape 06 / 07
Synthèse — À retenir
- σ² mesure la dispersion ; petit σ = valeurs concentrées.
- Bienaymé-Tchebychev : P(|X − E(X)| ≥ δ) ≤ V(X) ⁄ δ².
- Moyenne Mₙ : E(Mₙ) = μ, V(Mₙ) = σ² ⁄ n.
- Loi des grands nombres : Mₙ se concentre vers μ.
- C'est une majoration, pas la valeur exacte.
Étape 07 / 07
Plan de révisions
J+1
Refais exos 1 et 2.
J+7
Refais exos 3 et 4.
J+30
Exos 7 et 8.
Pour aller plus loin
Q1. Pourquoi la variance de la moyenne diminue-t-elle avec la taille de l'échantillon ?
Q2. Comment la loi des grands nombres justifie-t-elle l'estimation d'une proba par une fréquence ?