Exo 1 · Facile Raisonner
ƒ(x) = x² − 2, continue sur [0 ; 2]. Justifie que ƒ(x) = 0 a une solution dans cet intervalle.
Continuité et théorème des valeurs intermédiaires
Terminale · Analyse · BO 2019 (Terminale spé)
Continuité, théorème des valeurs intermédiaires, corollaire et dichotomie.
Étape 01 / 07
Avant de commencer
Question honnête : où en es-tu ?
Sais-tu utiliser le théorème des valeurs intermédiaires pour prouver qu'une équation a une solution ?
Étape 02 / 07
Prérequis
- Dérivation et tableau de variations (Première).
- Limites de fonctions (chapitre précédent).
- Lecture d'une courbe et image.
- Encadrement et valeurs approchées.
Étape 03 / 07
Cours
3.1 — Continuité
Une fonction est continue sur un intervalle si on peut tracer sa courbe « sans lever le crayon ». Les fonctions polynômes, rationnelles (sur leur ensemble de définition), racine, exp et ln sont continues.
3.2 — Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)
Si ƒ est continue sur [a ; b] et si k est compris entre ƒ(a) et ƒ(b), alors il existe au moins un réel c de [a ; b] tel que ƒ(c) = k. L'équation ƒ(x) = k admet donc au moins une solution.
3.3 — Corollaire (unicité)
Si de plus ƒ est strictement monotone sur [a ; b], alors la solution c est unique. On l'utilise avec le tableau de variations pour affirmer « une unique solution ».
3.4 — Dichotomie
Pour approcher c, on coupe l'intervalle en deux et on garde la moitié où ƒ change de signe ; on répète. Chaque étape divise par deux l'amplitude de l'encadrement.
Erreur classique
Le TVI exige la continuité. Sans elle, une fonction peut « sauter » par-dessus la valeur k sans jamais l'atteindre. La stricte monotonie sert seulement à l'unicité.
Étape 04 / 07
Exemples résolus
Ex 1 — Existence
ƒ(x) = x³ + x − 1 : ƒ(0) = −1 < 0, ƒ(1) = 1 > 0, ƒ continue ⟹ une solution dans [0 ; 1].
Ex 2 — Unicité
ƒ ci-dessus a ƒ′(x) = 3x² + 1 > 0 : strictement croissante ⟹ la solution est unique.
Ex 3 — Dichotomie
ƒ(0,5) = −0,375 < 0 : la solution est dans [0,5 ; 1]. On resserre l'encadrement.
Ex 4 — Lecture
Une fonction continue passant de −2 à 3 prend toute valeur intermédiaire, dont 0 : elle s'annule.
Étape 05 / 07
Exercices d'application
Exo 2 · Facile Représenter
Une fonction continue vérifie ƒ(1) = −3 et ƒ(4) = 5. Que peut-on affirmer sur ƒ(x) = 0 ?
Exo 3 · Moyen Raisonner
ƒ(x) = x³ − 3x + 1. Montre que l'équation ƒ(x) = 0 admet une solution dans [1 ; 2].
Exo 4 · Moyen Raisonner
Avec ƒ(x) = eˣ + x, montre que ƒ(x) = 0 admet une unique solution sur ℝ.
Exo 5 · Moyen Calculer
Pour ƒ(x) = x³ + x − 1, donne par dichotomie un encadrement de la solution d'amplitude 0,25.
Exo 6 · Moyen Raisonner
Explique pourquoi la stricte monotonie est nécessaire pour conclure à l'unicité.
Exo 7 · Défi Modéliser
La température T(t) = −t² + 6t − 4 (°C). Montre qu'il existe un instant où T = 0 sur [0 ; 1].
Exo 8 · Défi Communiquer
Un élève applique le TVI à une fonction qui « saute » en x = 2. Explique pourquoi c'est faux.
Étape 06 / 07
Synthèse — À retenir
- Continue = courbe sans saut ; polynômes, exp, ln continues.
- TVI : ƒ continue + k entre ƒ(a) et ƒ(b) ⟹ ƒ(c) = k a une solution.
- Corollaire : + strictement monotone ⟹ solution unique.
- Dichotomie : coupe en deux, garde la moitié qui change de signe.
- Sans continuité, le TVI ne s'applique pas.
Étape 07 / 07
Plan de révisions
J+1
Refais exos 1 et 2.
J+7
Refais exos 3 et 4.
J+30
Exos 5 et 7.
Pour aller plus loin
Q1. Pourquoi le TVI ne donne-t-il pas la valeur de c, seulement son existence ?
Q2. Combien d'étapes de dichotomie pour un encadrement d'amplitude 0,01 à partir de [0 ; 1] ?