Exo 1 · Facile Calculer
Dérive : a) g(x) = e³ˣ · b) h(x) = (2x − 1)⁴.
Compléments sur la dérivation et convexité
Terminale · Analyse · BO 2019 (Terminale spé)
Dérivée d'une fonction composée, dérivée seconde, convexité, concavité et point d'inflexion.
Étape 01 / 07
Avant de commencer
Question honnête : où en es-tu ?
Sais-tu dériver une fonction composée et utiliser la dérivée seconde pour étudier la convexité ?
Étape 02 / 07
Prérequis
- Dérivées usuelles et opérations (Première).
- Signe de la dérivée et variations.
- Tangente à une courbe.
- Fonction exponentielle.
Étape 03 / 07
Cours
3.1 — Dérivée d'une composée
Si g(x) = ƒ(u(x)), alors g′(x) = u′(x) × ƒ′(u(x)). Cas utiles : (eᵘ)′ = u′ eᵘ, (uⁿ)′ = n u′ uⁿ⁻¹, (√u)′ = u′ ⁄ (2√u).
3.2 — Dérivée seconde
La dérivée seconde ƒ″ est la dérivée de ƒ′. Elle renseigne sur la « courbure » de la courbe et sur la variation de la pente.
3.3 — Convexité et concavité
ƒ est convexe sur I si ƒ″ ≥ 0 (courbe « en creux », au-dessus de ses tangentes) ; concave si ƒ″ ≤ 0 (courbe « en bosse », sous ses tangentes).
3.4 — Point d'inflexion
Un point d'inflexion est un point où la courbe change de convexité : ƒ″ s'y annule en changeant de signe. En ce point, la courbe traverse sa tangente.
Erreur classique
ƒ″(a) = 0 ne suffit pas pour un point d'inflexion : il faut un changement de signe de ƒ″. Convexité et croissance sont deux propriétés différentes.
Étape 04 / 07
Exemples résolus
Ex 1 — Composée
g(x) = e²ˣ⁺¹ : u = 2x+1, u′ = 2, g′(x) = 2 e²ˣ⁺¹.
Ex 2 — Puissance
g(x) = (x² + 1)³ : g′(x) = 3 × 2x × (x² + 1)² = 6x(x² + 1)².
Ex 3 — Convexité
ƒ(x) = x² : ƒ″(x) = 2 > 0, donc ƒ est convexe sur ℝ.
Ex 4 — Inflexion
ƒ(x) = x³ : ƒ″(x) = 6x s'annule en 0 en changeant de signe ⟹ inflexion en 0.
Étape 05 / 07
Exercices d'application
Exo 2 · Facile Calculer
Dérive g(x) = √(x² + 1).
Exo 3 · Moyen Calculer
ƒ(x) = x³ − 3x². Calcule ƒ′(x) puis ƒ″(x).
Exo 4 · Moyen Raisonner
Avec ƒ de l'exercice 3, étudie le signe de ƒ″ et donne les intervalles de convexité.
Exo 5 · Moyen Raisonner
ƒ(x) = x³ − 3x² + 1. Détermine l'abscisse du point d'inflexion.
Exo 6 · Moyen Représenter
ƒ(x) = eˣ. Montre que ƒ est convexe sur ℝ et que sa courbe est au-dessus de chaque tangente.
Exo 7 · Défi Modéliser
Une courbe de coût C(x) = x³ − 6x² + 15x. Détermine le seuil de production où le coût marginal cesse de diminuer (inflexion).
Exo 8 · Défi Communiquer
Un élève dit « ƒ″(a) = 0 donc inflexion en a ». Donne un contre-exemple.
Étape 06 / 07
Synthèse — À retenir
- Composée : (ƒ∘u)′ = u′ × ƒ′(u). (eᵘ)′ = u′eᵘ, (uⁿ)′ = n u′uⁿ⁻¹.
- ƒ″ = dérivée de ƒ′.
- ƒ″ ≥ 0 ⟹ convexe ; ƒ″ ≤ 0 ⟹ concave.
- Point d'inflexion ⟺ ƒ″ change de signe.
- Convexe ⟹ courbe au-dessus de ses tangentes.
Étape 07 / 07
Plan de révisions
J+1
Refais exos 1 et 2.
J+7
Refais exos 3, 4 et 5.
J+30
Exos 7 et 8.
Pour aller plus loin
Q1. Que dit le signe de ƒ″ sur la variation de la pente ƒ′ ?
Q2. Pourquoi une fonction convexe est-elle au-dessus de ses tangentes ?