Exo 1 · Facile Calculer
Calcule : a) ∫₀² x dx · b) ∫₁³ 1 dx.
Calcul intégral
Terminale · Analyse · BO 2019 (Terminale spé)
Intégrale comme aire sous la courbe, lien avec les primitives, linéarité et valeur moyenne.
Étape 01 / 07
Avant de commencer
Question honnête : où en es-tu ?
Sais-tu calculer l'aire sous une courbe avec une primitive : ∫ₐᵇ ƒ = F(b) − F(a) ?
Étape 02 / 07
Prérequis
- Notion de primitive (chapitre précédent).
- Primitives usuelles.
- Lecture d'aire sur un graphique.
- Calcul avec valeurs de fonctions.
Étape 03 / 07
Cours
3.1 — Intégrale et aire
Pour ƒ positive et continue sur [a ; b], l'intégrale ∫ₐᵇ ƒ(x) dx est l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites x = a et x = b.
3.2 — Lien avec les primitives
Si F est une primitive de ƒ sur [a ; b], alors ∫ₐᵇ ƒ(x) dx = F(b) − F(a). On note souvent ce résultat [F(x)]ₐᵇ = F(b) − F(a).
3.3 — Propriétés
Linéarité : ∫ₐᵇ (ƒ + g) = ∫ₐᵇ ƒ + ∫ₐᵇ g et ∫ₐᵇ kƒ = k ∫ₐᵇ ƒ. Relation de Chasles : ∫ₐᵇ ƒ + ∫_b^c ƒ = ∫_a^c ƒ. Si ƒ ≥ 0 alors ∫ₐᵇ ƒ ≥ 0.
3.4 — Valeur moyenne
La valeur moyenne de ƒ sur [a ; b] est μ = 1 ⁄ (b − a) × ∫ₐᵇ ƒ(x) dx. Elle représente la hauteur du rectangle de même aire que le domaine sous la courbe.
Erreur classique
[F(x)]ₐᵇ = F(b) − F(a), pas F(a) − F(b) : attention à l'ordre. Et si ƒ est négative sur une partie, l'intégrale n'est plus directement l'aire (elle compte négativement).
Étape 04 / 07
Exemples résolus
Ex 1 — Polynôme
∫₀¹ x² dx = [x³ ⁄ 3]₀¹ = 1 ⁄ 3 − 0 = 1 ⁄ 3.
Ex 2 — Linéarité
∫₀¹ (2x + 1) dx = [x² + x]₀¹ = (1 + 1) − 0 = 2.
Ex 3 — Exponentielle
∫₀¹ eˣ dx = [eˣ]₀¹ = e − 1 ≈ 1,72.
Ex 4 — Valeur moyenne
Valeur moyenne de ƒ(x) = x² sur [0 ; 1] : μ = 1 ⁄ (1 − 0) × 1 ⁄ 3 = 1 ⁄ 3.
Étape 05 / 07
Exercices d'application
Exo 2 · Facile Calculer
Calcule ∫₀¹ x² dx puis ∫₀¹ x³ dx.
Exo 3 · Moyen Calculer
Calcule ∫₀² (3x² − 2x) dx.
Exo 4 · Moyen Calculer
Calcule ∫₁ᵉ 1 ⁄ x dx (utilise ln).
Exo 5 · Moyen Calculer
Calcule ∫₀¹ e²ˣ dx.
Exo 6 · Moyen Représenter
Calcule la valeur moyenne de ƒ(x) = 2x sur [0 ; 3] et interprète-la.
Exo 7 · Défi Modéliser
Le débit d'eau est d(t) = 4 − t (en L/min) pour 0 ≤ t ≤ 4. Quel volume total s'écoule entre t = 0 et t = 4 ?
Exo 8 · Défi Raisonner
Avec la relation de Chasles, exprime ∫₀³ ƒ en fonction de ∫₀¹ ƒ et ∫₁³ ƒ, puis applique à ƒ(x) = x².
Étape 06 / 07
Synthèse — À retenir
- ∫ₐᵇ ƒ = aire sous la courbe si ƒ ≥ 0.
- ∫ₐᵇ ƒ(x) dx = F(b) − F(a) avec F primitive de ƒ.
- Linéarité et relation de Chasles.
- Valeur moyenne : μ = 1 ⁄ (b − a) × ∫ₐᵇ ƒ.
- Attention à l'ordre F(b) − F(a) et au signe de ƒ.
Étape 07 / 07
Plan de révisions
J+1
Refais exos 1 et 2.
J+7
Refais exos 3 et 4.
J+30
Exos 7 et 8.
Pour aller plus loin
Q1. Pourquoi le calcul d'aire se ramène-t-il à une différence de primitives ?
Q2. Que représente concrètement la valeur moyenne d'un débit sur une durée ?