Exo 1 · Facile Calculer
Donne la limite en +∞ de : a) ƒ(x) = 3 − 2 ⁄ x · b) g(x) = 1 ⁄ x².
Limites de fonctions
Terminale · Analyse · BO 2019 (Terminale spé)
Limites en l'infini et en un point, asymptotes, opérations et formes indéterminées.
Étape 01 / 07
Avant de commencer
Question honnête : où en es-tu ?
Sais-tu déterminer une limite et interpréter une asymptote horizontale ou verticale ?
Étape 02 / 07
Prérequis
- Fonctions de référence et leurs courbes (Seconde).
- Limites de suites (chapitre précédent).
- Signe d'une expression, factorisation.
- Lecture graphique d'une courbe.
Étape 03 / 07
Cours
3.1 — Limite en l'infini
lim ƒ(x) quand x → +∞ décrit le comportement de la courbe « au loin ». Si lim ƒ(x) = L (fini), la droite y = L est une asymptote horizontale.
3.2 — Limite en un point
Quand x → a, si ƒ(x) → ±∞, la droite verticale x = a est une asymptote verticale. On distingue souvent la limite à gauche et à droite de a.
3.3 — Opérations et croissances comparées
Mêmes règles que pour les suites (somme, produit, quotient), avec les mêmes formes indéterminées. Croissances comparées : en +∞, l'exponentielle l'emporte sur toute puissance, qui l'emporte sur le logarithme.
3.4 — Lever une indétermination
Pour une fonction rationnelle en ±∞, on factorise par le terme de plus haut degré. Près d'une valeur interdite, on étudie le signe du dénominateur.
Erreur classique
Une asymptote horizontale concerne le comportement en ±∞, une asymptote verticale concerne une valeur finie a où la fonction explose : ne pas les confondre.
Étape 04 / 07
Exemples résolus
Ex 1 — Asymptote horizontale
ƒ(x) = 2 + 1 ⁄ x : quand x → +∞, ƒ(x) → 2. Asymptote y = 2.
Ex 2 — Asymptote verticale
ƒ(x) = 1 ⁄ (x − 3) : quand x → 3⁺, ƒ(x) → +∞. Asymptote x = 3.
Ex 3 — Rationnelle
lim (3x² + 1) ⁄ (x² − 2) en +∞ : terme dominant 3x² ⁄ x² = 3.
Ex 4 — Croissances comparées
lim (eˣ ⁄ x) en +∞ = +∞ : l'exponentielle l'emporte sur x.
Étape 05 / 07
Exercices d'application
Exo 2 · Facile Représenter
Donne l'asymptote verticale de ƒ(x) = 1 ⁄ (x + 2) et la limite à gauche et à droite de −2.
Exo 3 · Moyen Calculer
Détermine lim (4x − 1) ⁄ (2x + 3) en +∞.
Exo 4 · Moyen Calculer
Détermine lim (x² − 5x) en +∞ et en −∞.
Exo 5 · Moyen Raisonner
Étudie les limites de ƒ(x) = (2x + 1) ⁄ (x − 1) en +∞ et en 1, puis donne les asymptotes.
Exo 6 · Moyen Calculer
Utilise les croissances comparées : lim (x ⁄ eˣ) en +∞.
Exo 7 · Défi Modéliser
Une concentration suit C(t) = 5 − 5 e⁻⁰·²ᵗ. Donne sa limite quand t → +∞ et interprète.
Exo 8 · Défi Communiquer
Un élève écrit « lim 1 ⁄ (x − 3) en 3 = ∞ » sans préciser. Explique pourquoi il faut distinguer 3⁻ et 3⁺.
Étape 06 / 07
Synthèse — À retenir
- lim finie L en ±∞ ⟹ asymptote horizontale y = L.
- lim ±∞ en a ⟹ asymptote verticale x = a.
- Rationnelle en ±∞ : factoriser par le terme dominant.
- Croissances comparées : eˣ ≫ xⁿ ≫ ln x.
- Distinguer limite à gauche et à droite.
Étape 07 / 07
Plan de révisions
J+1
Refais exos 1 et 2.
J+7
Refais exos 3, 4 et 5.
J+30
Exos 6 et 7.
Pour aller plus loin
Q1. Comment une limite traduit-elle géométriquement une asymptote ?
Q2. Pourquoi l'exponentielle « écrase »-t-elle les puissances en +∞ ?