Exo 1 · Facile Calculer
Donne la limite de : a) uₙ = 5 − 2 ⁄ n · b) vₙ = 1 ⁄ n².
Limites de suites
Terminale · Analyse · BO 2019 (Terminale spé)
Convergence, divergence, opérations sur les limites, suites géométriques, comparaison.
Étape 01 / 07
Avant de commencer
Question honnête : où en es-tu ?
Sais-tu déterminer si une suite converge ou diverge et lever une forme indéterminée ?
Étape 02 / 07
Prérequis
- Suites arithmétiques et géométriques (Première).
- Sens de variation d'une suite.
- Puissances et inégalités.
- Notion d'encadrement.
Étape 03 / 07
Cours
3.1 — Limite finie ou infinie
Une suite (uₙ) converge vers L si uₙ se rapproche de L quand n grandit : lim uₙ = L. Elle diverge vers +∞ si uₙ dépasse tout seuil. Une suite peut aussi n'avoir aucune limite.
3.2 — Opérations sur les limites
Les limites se comportent comme pour les fonctions : somme, produit, quotient. Certaines situations donnent une forme indéterminée : « ∞ − ∞ », « 0 × ∞ », « ∞ ⁄ ∞ », « 0 ⁄ 0 », qu'il faut lever (factorisation, terme dominant).
3.3 — Suites géométriques
Pour qⁿ : si q > 1, lim qⁿ = +∞ ; si −1 < q < 1, lim qⁿ = 0 ; si q = 1, la suite vaut 1 ; si q ≤ −1, pas de limite.
3.4 — Théorèmes de comparaison
Si uₙ ≥ vₙ et lim vₙ = +∞, alors lim uₙ = +∞. Théorème des gendarmes : si vₙ ≤ uₙ ≤ wₙ avec lim vₙ = lim wₙ = L, alors lim uₙ = L. Toute suite croissante majorée converge.
Erreur classique
« ∞ − ∞ » ne vaut PAS 0 : c'est une forme indéterminée. Il faut factoriser par le terme dominant pour conclure.
Étape 04 / 07
Exemples résolus
Ex 1 — Limite simple
uₙ = 3 + 1 ⁄ n : quand n → +∞, 1 ⁄ n → 0 donc lim uₙ = 3.
Ex 2 — Géométrique
uₙ = 0,8ⁿ : comme −1 < 0,8 < 1, lim uₙ = 0.
Ex 3 — Forme indéterminée
uₙ = n² − n = n(n − 1). Comme n → +∞ et (n − 1) → +∞, lim uₙ = +∞.
Ex 4 — Gendarmes
−1 ⁄ n ≤ (sin n) ⁄ n ≤ 1 ⁄ n, et les bornes tendent vers 0, donc lim (sin n)⁄n = 0.
Étape 05 / 07
Exercices d'application
Exo 2 · Facile Calculer
Donne la limite de : a) 1,5ⁿ · b) 0,3ⁿ · c) (−0,5)ⁿ.
Exo 3 · Moyen Calculer
Détermine lim (2n + 3) ⁄ (n − 1) en factorisant par n.
Exo 4 · Moyen Calculer
Lève l'indétermination : uₙ = √(n + 1) − √n (multiplie par la quantité conjuguée).
Exo 5 · Moyen Raisonner
Montre par comparaison que uₙ = n + cos n tend vers +∞.
Exo 6 · Moyen Raisonner
Utilise le théorème des gendarmes pour lim (2 + (−1)ⁿ) ⁄ n.
Exo 7 · Défi Modéliser
Une suite vérifie u₀ = 2 et uₙ₊₁ = 0,5 uₙ + 3. Conjecture sa limite et justifie qu'elle est croissante et majorée.
Exo 8 · Défi Communiquer
Un élève écrit « lim (n² − n) = 0 car ∞ − ∞ = 0 ». Corrige son raisonnement.
Étape 06 / 07
Synthèse — À retenir
- Converge vers L, diverge vers ±∞, ou pas de limite.
- qⁿ : → +∞ si q > 1 ; → 0 si −1 < q < 1.
- Formes indéterminées : ∞ − ∞, 0 × ∞, ∞ ⁄ ∞, 0 ⁄ 0.
- Théorème des gendarmes pour encadrer.
- Croissante + majorée ⟹ convergente.
Étape 07 / 07
Plan de révisions
J+1
Refais exos 1 et 2.
J+7
Refais exos 3 et 4.
J+30
Exos 7 et 8.
Pour aller plus loin
Q1. Pourquoi une suite croissante majorée converge-t-elle nécessairement ?
Q2. Comment factoriser par le terme dominant lève-t-il une indétermination ?