Exo 1 · Facile Calculer
Simplifie : a) ln 2 + ln 5 · b) ln 12 − ln 4 · c) ln(e³).
Fonction logarithme népérien
Terminale · Analyse · BO 2019 (Terminale spé)
Définition de ln, propriétés algébriques, dérivée, variations et lien avec exp.
Étape 01 / 07
Avant de commencer
Question honnête : où en es-tu ?
Connais-tu les propriétés ln(ab) = ln a + ln b et sais-tu résoudre une équation avec ln ?
Étape 02 / 07
Prérequis
- Fonction exponentielle et ses propriétés (Première).
- Résolution d'équations.
- Dérivation, variations.
- Fonction réciproque (notion intuitive).
Étape 03 / 07
Cours
3.1 — Définition
La fonction logarithme népérien ln est définie sur ]0 ; +∞[ comme la réciproque de l'exponentielle : ln x = y ⟺ x = eʸ. Donc ln(eˣ) = x et e^(ln x) = x. On a ln 1 = 0 et ln e = 1.
3.2 — Propriétés algébriques
Pour a > 0, b > 0 : ln(ab) = ln a + ln b · ln(a ⁄ b) = ln a − ln b · ln(aⁿ) = n ln a · ln(√a) = ½ ln a. Le logarithme transforme les produits en sommes.
3.3 — Dérivée et variations
(ln x)′ = 1 ⁄ x > 0 sur ]0 ; +∞[ : ln est strictement croissante. lim ln x = −∞ en 0⁺ et lim ln x = +∞ en +∞. Plus généralement, (ln u)′ = u′ ⁄ u.
3.4 — Résolution d'équations
ln x = k ⟺ x = eᵏ. eˣ = k (k > 0) ⟺ x = ln k. On utilise ln pour « faire descendre » un exposant : aˣ = b ⟺ x ln a = ln b.
Erreur classique
ln n'existe que pour x > 0 : toujours vérifier le domaine. Et ln(a + b) ≠ ln a + ln b — la propriété concerne le produit, pas la somme.
Étape 04 / 07
Exemples résolus
Ex 1 — Simplifier
ln 6 = ln(2 × 3) = ln 2 + ln 3. Et ln 8 = ln 2³ = 3 ln 2.
Ex 2 — Équation
ln x = 2 ⟺ x = e² ≈ 7,39.
Ex 3 — Exposant
2ˣ = 10 ⟺ x ln 2 = ln 10 ⟺ x = ln 10 ⁄ ln 2 ≈ 3,32.
Ex 4 — Dériver
ƒ(x) = ln(x² + 1) : ƒ′(x) = 2x ⁄ (x² + 1).
Étape 05 / 07
Exercices d'application
Exo 2 · Facile Calculer
Exprime en fonction de ln 2 : a) ln 4 · b) ln 16 · c) ln(½).
Exo 3 · Moyen Calculer
Résous : a) ln x = 3 · b) ln x = −1 · c) ln(2x − 1) = 0.
Exo 4 · Moyen Calculer
Résous eˣ = 7 puis 3ˣ = 20.
Exo 5 · Moyen Calculer
Dérive : a) ƒ(x) = ln(3x) · b) g(x) = x ln x.
Exo 6 · Moyen Raisonner
Détermine l'ensemble de définition de ƒ(x) = ln(x − 2), puis ses limites aux bornes.
Exo 7 · Défi Modéliser
Un capital placé à 4 % suit Cₙ = 1000 × 1,04ⁿ. Au bout de combien d'années dépasse-t-il 2000 € ? (utilise ln)
Exo 8 · Défi Communiquer
Un élève écrit ln(x + 3) = ln x + ln 3. Explique l'erreur.
Étape 06 / 07
Synthèse — À retenir
- ln x = y ⟺ x = eʸ ; ln 1 = 0, ln e = 1.
- ln(ab) = ln a + ln b ; ln(aⁿ) = n ln a.
- (ln x)′ = 1 ⁄ x ; ln strictement croissante sur ]0 ; +∞[.
- ln x = k ⟺ x = eᵏ ; aˣ = b ⟺ x = ln b ⁄ ln a.
- Domaine : x > 0 obligatoire.
Étape 07 / 07
Plan de révisions
J+1
Refais exos 1 et 2.
J+7
Refais exos 3 et 4.
J+30
Exos 7 et 8.
Pour aller plus loin
Q1. Pourquoi ln est-il la fonction réciproque de l'exponentielle ?
Q2. Comment ln permet-il de résoudre un seuil dans un placement à intérêts composés ?