Exo 1 · Facile Raisonner
On lance 8 fois une pièce équilibrée, succès = « pile ». Donne les paramètres n et p de la loi de X.
Loi binomiale
Terminale · Probabilités et statistiques · BO 2019 (Terminale spé)
Schéma de Bernoulli, loi binomiale, coefficients binomiaux, espérance et écart-type.
Étape 01 / 07
Avant de commencer
Question honnête : où en es-tu ?
Sais-tu reconnaître un schéma de Bernoulli et calculer P(X = k) avec une loi binomiale ?
Étape 02 / 07
Prérequis
- Probabilités, événements, indépendance.
- Coefficients binomiaux C(n , k) et combinatoire.
- Variable aléatoire, espérance.
- Arbre de probabilité.
Étape 03 / 07
Cours
3.1 — Épreuve de Bernoulli
Une épreuve de Bernoulli a deux issues : succès (probabilité p) et échec (probabilité 1 − p). Répéter n fois, de façon indépendante et identique, cette épreuve forme un schéma de Bernoulli de paramètres n et p.
3.2 — Loi binomiale
X compte le nombre de succès parmi les n répétitions. X suit la loi binomiale de paramètres n et p, notée X ∼ B(n ; p). Pour k entre 0 et n : P(X = k) = C(n , k) × pᵏ × (1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
3.3 — Espérance et écart-type
Si X ∼ B(n ; p) : espérance E(X) = np · variance V(X) = np(1 − p) · écart-type σ(X) = √(np(1 − p)). E(X) est le nombre moyen de succès attendu.
3.4 — Calculs « au moins / au plus »
P(X ≤ k) se cumule. Astuce : P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0). La calculatrice donne P(X = k) et P(X ≤ k) directement.
Erreur classique
Vérifier les conditions : répétitions indépendantes et même probabilité p. Un tirage sans remise n'est pas binomial. Et ne pas oublier le coefficient C(n , k).
Étape 04 / 07
Exemples résolus
Ex 1 — Reconnaître
On lance 10 fois un dé, succès = « obtenir 6 » (p = 1 ⁄ 6). X ∼ B(10 ; 1 ⁄ 6).
Ex 2 — P(X = k)
X ∼ B(4 ; 0,5) : P(X = 2) = C(4 , 2) × 0,5² × 0,5² = 6 × 0,0625 = 0,375.
Ex 3 — Au moins un
X ∼ B(5 ; 0,2) : P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − 0,8⁵ ≈ 0,672.
Ex 4 — Espérance
X ∼ B(20 ; 0,3) : E(X) = 20 × 0,3 = 6 ; σ(X) = √(20 × 0,3 × 0,7) ≈ 2,05.
Étape 05 / 07
Exercices d'application
Exo 2 · Facile Calculer
X ∼ B(3 ; 0,5). Calcule P(X = 0), P(X = 1), P(X = 2), P(X = 3).
Exo 3 · Moyen Calculer
X ∼ B(6 ; 0,2). Calcule P(X = 2).
Exo 4 · Moyen Calculer
X ∼ B(10 ; 0,3). Calcule P(X ≥ 1).
Exo 5 · Moyen Calculer
X ∼ B(50 ; 0,4). Donne E(X) et σ(X).
Exo 6 · Moyen Raisonner
Un tirage de 5 cartes sans remise dans un jeu : la loi de X (nombre de cœurs) est-elle binomiale ? Justifie.
Exo 7 · Défi Modéliser
Une machine produit 3 % de pièces défectueuses. Sur un lot de 40 pièces, quelle est la probabilité d'en avoir au moins une défectueuse ?
Exo 8 · Défi Communiquer
Un QCM de 20 questions à 4 choix, réponses au hasard. Combien de bonnes réponses en moyenne ? Est-il « probable » d'avoir la moyenne (10) ?
Étape 06 / 07
Synthèse — À retenir
- Schéma de Bernoulli : n répétitions indépendantes, même p.
- X ∼ B(n ; p) : P(X = k) = C(n , k) pᵏ (1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
- E(X) = np ; V(X) = np(1 − p) ; σ(X) = √(np(1 − p)).
- P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0).
- Sans remise ⟹ pas binomial.
Étape 07 / 07
Plan de révisions
J+1
Refais exos 1 et 2.
J+7
Refais exos 3 et 4.
J+30
Exos 7 et 8.
Pour aller plus loin
Q1. Pourquoi le coefficient C(n , k) apparaît-il dans P(X = k) ?
Q2. Que signifie concrètement E(X) = np dans un contrôle qualité ?