Exo 1 · Facile Calculer
Donne une primitive de : a) ƒ(x) = 4x³ · b) ƒ(x) = x · c) ƒ(x) = 5.
Primitives et équations différentielles
Terminale · Analyse · BO 2019 (Terminale spé)
Primitive d'une fonction, primitives usuelles et équations différentielles y′ = ay + b.
Étape 01 / 07
Avant de commencer
Question honnête : où en es-tu ?
Sais-tu trouver une fonction dont la dérivée est x², et résoudre y′ = 2y ?
Étape 02 / 07
Prérequis
- Dérivées des fonctions usuelles.
- Dérivée d'une somme, d'un produit par une constante.
- Fonction exponentielle eˣ et eᵏˣ.
- Fonction logarithme népérien.
Étape 03 / 07
Cours
3.1 — Définition d'une primitive
F est une primitive de ƒ sur un intervalle I si F est dérivable sur I et F′ = ƒ. Si F est une primitive de ƒ, alors toutes les primitives de ƒ sont les fonctions x ↦ F(x) + C, où C est une constante réelle.
3.2 — Primitives usuelles
ƒ(x) = xⁿ ⟶ F(x) = xⁿ⁺¹ ⁄ (n + 1) · ƒ(x) = 1 ⁄ x ⟶ F(x) = ln x (sur x > 0) · ƒ(x) = eˣ ⟶ F(x) = eˣ · ƒ(x) = eᵏˣ ⟶ F(x) = eᵏˣ ⁄ k · ƒ(x) = cos x ⟶ F(x) = sin x.
3.3 — Condition initiale
Il existe une unique primitive F qui prend une valeur donnée en un point : F(x₀) = y₀ fixe la constante C. On dit qu'une condition initiale détermine entièrement la primitive.
3.4 — Équation différentielle y′ = ay + b
L'équation y′ = ay (a ≠ 0) a pour solutions les fonctions x ↦ C eᵃˣ. L'équation y′ = ay + b a pour solutions x ↦ C eᵃˣ − b ⁄ a. La condition initiale fixe la constante C.
Erreur classique
Ne pas oublier la constante + C : une fonction a une infinité de primitives. Et pour eᵏˣ, on divise par k (ne pas multiplier).
Étape 04 / 07
Exemples résolus
Ex 1 — Primitive simple
ƒ(x) = 3x² : une primitive est F(x) = x³ (car (x³)′ = 3x²). Toutes : x³ + C.
Ex 2 — Somme
ƒ(x) = 2x + eˣ : F(x) = x² + eˣ + C.
Ex 3 — Condition initiale
ƒ(x) = 2x avec F(0) = 5 : F(x) = x² + C et F(0) = C = 5, donc F(x) = x² + 5.
Ex 4 — Équation différentielle
y′ = 3y avec y(0) = 2 : y = C e³ˣ, y(0) = C = 2, donc y = 2 e³ˣ.
Étape 05 / 07
Exercices d'application
Exo 2 · Facile Calculer
Donne une primitive de : a) ƒ(x) = eˣ · b) ƒ(x) = 1 ⁄ x (x > 0) · c) ƒ(x) = cos x.
Exo 3 · Moyen Calculer
Trouve une primitive de ƒ(x) = 3x² − 2x + 1.
Exo 4 · Moyen Calculer
Détermine la primitive F de ƒ(x) = 2x − 3 telle que F(1) = 4.
Exo 5 · Moyen Calculer
Une primitive de ƒ(x) = e²ˣ. Vérifie en dérivant.
Exo 6 · Moyen Raisonner
Résous y′ = 5y, puis donne la solution vérifiant y(0) = 3.
Exo 7 · Défi Modéliser
Une population suit y′ = 0,02y (y en milliers, t en années). Si y(0) = 50, exprime y(t) et calcule y(10).
Exo 8 · Défi Raisonner
Résous y′ = 2y + 6, puis donne la solution avec y(0) = 1.
Étape 06 / 07
Synthèse — À retenir
- F primitive de ƒ ⟺ F′ = ƒ ; primitives = F + C.
- xⁿ ⟶ xⁿ⁺¹ ⁄ (n + 1) ; 1 ⁄ x ⟶ ln x ; eᵏˣ ⟶ eᵏˣ ⁄ k.
- Une condition initiale fixe la constante.
- y′ = ay ⟶ y = C eᵃˣ.
- y′ = ay + b ⟶ y = C eᵃˣ − b ⁄ a.
Étape 07 / 07
Plan de révisions
J+1
Refais exos 1 et 2.
J+7
Refais exos 3 et 4.
J+30
Exos 7 et 8.
Pour aller plus loin
Q1. Pourquoi une fonction a-t-elle une infinité de primitives ?
Q2. En quoi l'équation y′ = ay modélise-t-elle une croissance exponentielle ?