Exo 1 · Facile Calculer
Calcule u⃗ · v⃗ pour u⃗ (2 ; −1 ; 3) et v⃗ (1 ; 4 ; 0).
Orthogonalité et produit scalaire dans l'espace
Terminale · Géométrie · BO 2019 (Terminale spé)
Produit scalaire dans l'espace, orthogonalité, vecteur normal, équation cartésienne d'un plan.
Étape 01 / 07
Avant de commencer
Question honnête : où en es-tu ?
Sais-tu déterminer l'équation cartésienne d'un plan à partir d'un point et d'un vecteur normal ?
Étape 02 / 07
Prérequis
- Produit scalaire dans le plan (Première).
- Vecteurs de l'espace, coordonnées (chapitre précédent).
- Norme d'un vecteur, distance entre deux points.
- Représentation paramétrique d'une droite.
Étape 03 / 07
Cours
3.1 — Produit scalaire dans l'espace
Dans un repère orthonormé, pour u⃗ (x ; y ; z) et v⃗ (x′ ; y′ ; z′) : u⃗ · v⃗ = x x′ + y y′ + z z′. On a aussi u⃗ · v⃗ = ‖u⃗‖ ‖v⃗‖ cos θ et la norme ‖u⃗‖ = √(x² + y² + z²).
3.2 — Orthogonalité
Deux vecteurs sont orthogonaux ⟺ leur produit scalaire est nul : u⃗ · v⃗ = 0. Une droite est orthogonale à un plan si son vecteur directeur est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan.
3.3 — Vecteur normal et équation d'un plan
Un plan de vecteur normal n⃗ (a ; b ; c) a une équation cartésienne de la forme a x + b y + c z + d = 0. Un point M(x ; y ; z) est dans le plan si AM⃗ · n⃗ = 0 pour A point du plan.
3.4 — Projeté orthogonal et distance
Le projeté orthogonal d'un point sur une droite ou un plan est le point le plus proche. Il permet de calculer une distance d'un point à un plan, en utilisant le vecteur normal.
Erreur classique
Le produit scalaire dans l'espace ajoute bien le terme en z : ne l'oublie pas. Et n⃗ (a ; b ; c) est le vecteur normal du plan a x + b y + c z + d = 0, pas un vecteur du plan.
Étape 04 / 07
Exemples résolus
Ex 1 — Produit scalaire
u⃗ (1 ; 2 ; −1), v⃗ (3 ; 0 ; 2) : u⃗ · v⃗ = 3 + 0 − 2 = 1.
Ex 2 — Norme
u⃗ (2 ; 1 ; 2) : ‖u⃗‖ = √(4 + 1 + 4) = √9 = 3.
Ex 3 — Orthogonalité
u⃗ (1 ; 2 ; 1), v⃗ (1 ; −1 ; 1) : u⃗ · v⃗ = 1 − 2 + 1 = 0, donc orthogonaux.
Ex 4 — Équation de plan
Plan par A(1 ; 0 ; 2), normal n⃗ (2 ; −1 ; 3) : 2(x−1) − y + 3(z−2) = 0, soit 2x − y + 3z − 8 = 0.
Étape 05 / 07
Exercices d'application
Exo 2 · Facile Calculer
Calcule la norme de u⃗ (1 ; 2 ; 2).
Exo 3 · Moyen Raisonner
Les vecteurs u⃗ (2 ; 1 ; −1) et v⃗ (1 ; −1 ; 1) sont-ils orthogonaux ? Justifie.
Exo 4 · Moyen Calculer
Détermine une équation cartésienne du plan passant par A(0 ; 1 ; −2) de vecteur normal n⃗ (1 ; 2 ; −1).
Exo 5 · Moyen Représenter
Donne un vecteur normal du plan 3x − y + 2z − 5 = 0, puis un point lui appartenant.
Exo 6 · Moyen Calculer
Détermine le réel m pour que u⃗ (m ; 2 ; −1) et v⃗ (3 ; m ; 1) soient orthogonaux.
Exo 7 · Défi Raisonner
A(1 ; 0 ; 0), B(0 ; 1 ; 0), C(0 ; 0 ; 1). Montre que le triangle ABC est équilatéral à l'aide du produit scalaire.
Exo 8 · Défi Modéliser
Détermine l'intersection de la droite x = t, y = 1 + t, z = 2 − t avec le plan x + y + z − 3 = 0.
Étape 06 / 07
Synthèse — À retenir
- u⃗ · v⃗ = x x′ + y y′ + z z′.
- ‖u⃗‖ = √(x² + y² + z²).
- u⃗ · v⃗ = 0 ⟺ u⃗ ⊥ v⃗.
- Plan de normal n⃗ (a ; b ; c) : a x + b y + c z + d = 0.
- Projeté orthogonal = point le plus proche (distance).
Étape 07 / 07
Plan de révisions
J+1
Refais exos 1, 2 et 3.
J+7
Refais exos 4 et 5.
J+30
Exos 7 et 8.
Pour aller plus loin
Q1. Comment le vecteur normal permet-il de tester si un point est dans un plan ?
Q2. Comment trouver l'intersection d'une droite et d'un plan ?