Exo 1 · Facile Calculer
X et Y vérifient E(X) = 4 et E(Y) = 7. Calcule E(X + Y) puis E(3X − 2Y).
Sommes de variables aléatoires
Terminale · Probabilités et statistiques · BO 2019 (Terminale spé)
Additionner des variables aléatoires : espérance, variance, écart-type d'une somme et d'un échantillon.
Étape 01 / 07
Avant de commencer
Question honnête : où en es-tu ?
Sais-tu calculer l'espérance et la variance de la somme de deux dés ?
Étape 02 / 07
Prérequis
- Espérance E(X), variance V(X), écart-type σ(X) d'une variable aléatoire.
- Loi de probabilité d'une variable discrète.
- Notion d'indépendance de deux événements.
- Loi binomiale B(n ; p) (chapitre précédent).
Étape 03 / 07
Cours
3.1 — Linéarité de l'espérance
Pour deux variables aléatoires X et Y et deux réels a, b :
E(aX + bY) = a E(X) + b E(Y). En particulier E(X + Y) = E(X) + E(Y). Cette propriété est toujours vraie, même si X et Y ne sont pas indépendantes.
3.2 — Variance d'une somme
Si X et Y sont indépendantes :
V(X + Y) = V(X) + V(Y). Attention : la variance d'un multiple s'écrit V(aX) = a² V(X). L'écart-type n'est en général pas additif.
3.3 — Échantillon de taille n
Soit X₁, X₂, …, Xₙ des variables indépendantes et de même loi (espérance μ, écart-type σ). La somme Sₙ = X₁ + … + Xₙ vérifie :
E(Sₙ) = nμ et V(Sₙ) = nσ², donc σ(Sₙ) = √n · σ.
3.4 — Moyenne empirique Mₙ
La moyenne Mₙ = Sₙ ÷ n vérifie :
E(Mₙ) = μ et V(Mₙ) = σ² ÷ n, donc σ(Mₙ) = σ ÷ √n. Plus n est grand, plus Mₙ se concentre autour de μ.
Erreur classique
V(X + Y) = V(X) + V(Y) uniquement si X et Y sont indépendantes. Et σ(X + Y) ≠ σ(X) + σ(Y) : on additionne les variances, pas les écarts-types.
Étape 04 / 07
Exemples résolus
Ex 1 — Deux dés
X et Y = résultats de deux dés équilibrés, E(X) = 3,5 et V(X) = 35÷12. Pour S = X + Y : E(S) = 7 et, par indépendance, V(S) = 35÷6 ≈ 5,83.
Ex 2 — Somme binomiale
Si X ∼ B(n ; p), on peut écrire X = X₁ + … + Xₙ avec Xᵢ de Bernoulli (E = p, V = p(1 − p)). D'où E(X) = np et V(X) = np(1 − p).
Ex 3 — Échantillon
On répète n = 100 fois une mesure de moyenne μ = 20 et d'écart-type σ = 5. Alors σ(S₁₀₀) = √100 · 5 = 50, et σ(M₁₀₀) = 5 ÷ √100 = 0,5.
Ex 4 — Combinaison linéaire
Z = 2X − 3Y avec X, Y indépendantes : E(Z) = 2 E(X) − 3 E(Y) et V(Z) = 4 V(X) + 9 V(Y) (les carrés des coefficients).
Étape 05 / 07
Exercices d'application
Exo 2 · Facile Calculer
X et Y sont indépendantes, V(X) = 2 et V(Y) = 5. Calcule V(X + Y) puis σ(X + Y).
Exo 3 · Moyen Raisonner
Vrai ou faux : σ(X + Y) = σ(X) + σ(Y) ? Justifie avec un contre-exemple chiffré.
Exo 4 · Moyen Calculer
On lance 3 dés équilibrés. Donne E et V de la somme S des trois résultats.
Exo 5 · Moyen Modéliser
Une pièce de monnaie donne X = 1 (pile, p = 0,5) ou 0. On la lance 50 fois. Donne E(S₅₀), V(S₅₀) et σ(S₅₀).
Exo 6 · Moyen Calculer
Un échantillon de n = 64 mesures a μ = 15 et σ = 4. Calcule σ(Mₙ), l'écart-type de la moyenne empirique.
Exo 7 · Défi Raisonner
Z = aX + bY avec X, Y indépendantes (variance σ² chacune). Exprime V(Z) en fonction de a, b et σ².
Exo 8 · Défi Communiquer
Explique pourquoi la moyenne empirique Mₙ devient « de plus en plus fiable » quand n augmente, en t'appuyant sur σ(Mₙ).
Étape 06 / 07
Synthèse — À retenir
- Espérance toujours linéaire : E(aX + bY) = a E(X) + b E(Y).
- Variance additive si indépendance : V(X + Y) = V(X) + V(Y).
- V(aX) = a² V(X) (jamais a V(X)).
- Échantillon : E(Sₙ) = nμ, V(Sₙ) = nσ², σ(Sₙ) = √n σ.
- Moyenne : E(Mₙ) = μ, σ(Mₙ) = σ ÷ √n ⟶ 0.
Étape 07 / 07
Plan de révisions
J+1
Refais exos 1 et 2.
J+7
Refais exos 4 et 5.
J+30
Exos 7 et 8.
Pour aller plus loin
Q1. Pourquoi la linéarité de l'espérance ne demande-t-elle pas l'indépendance ?
Q2. Comment retrouver E(X) = np et V(X) = np(1 − p) à partir d'une somme de Bernoulli ?