Exo 1 · Facile Calculer
A(2 ; −1 ; 3), B(0 ; 4 ; 1). Donne les coordonnées de AB⃗.
Vecteurs, droites et plans de l'espace
Terminale · Géométrie · BO 2019 (Terminale spé)
Vecteurs de l'espace, repère, colinéarité, coplanarité, représentation paramétrique.
Étape 01 / 07
Avant de commencer
Question honnête : où en es-tu ?
Sais-tu donner une représentation paramétrique d'une droite de l'espace et tester la coplanarité ?
Étape 02 / 07
Prérequis
- Vecteurs du plan, colinéarité (Seconde / Première).
- Coordonnées, repère, calcul vectoriel.
- Équation paramétrique d'une droite du plan.
- Résolution de systèmes linéaires.
Étape 03 / 07
Cours
3.1 — Vecteurs de l'espace
Les règles du calcul vectoriel du plan s'étendent à l'espace. Dans un repère (O ; i⃗, j⃗, k⃗), un vecteur a trois coordonnées u⃗ (x ; y ; z). On additionne et multiplie par un réel coordonnée par coordonnée.
3.2 — Colinéarité et coplanarité
Deux vecteurs sont colinéaires si l'un est multiple de l'autre. Trois vecteurs sont coplanaires si l'un s'écrit comme combinaison linéaire des deux autres : w⃗ = a u⃗ + b v⃗.
3.3 — Représentation paramétrique d'une droite
La droite passant par A(x_A ; y_A ; z_A) de vecteur directeur u⃗ (α ; β ; γ) est l'ensemble des points M tels que : x = x_A + tα, y = y_A + tβ, z = z_A + tγ, avec t réel.
3.4 — Plans
Un plan est défini par un point et deux vecteurs non colinéaires, ou par un point et un vecteur normal. On caractérise droites et plans (parallèles, sécants) à l'aide des vecteurs directeurs et normaux.
Erreur classique
Dans une représentation paramétrique, le paramètre t est commun aux trois coordonnées. Deux droites peuvent être non coplanaires (ni parallèles ni sécantes) : c'est propre à l'espace.
Étape 04 / 07
Exemples résolus
Ex 1 — Coordonnées
A(1 ; 0 ; 2), B(3 ; 4 ; 1) : AB⃗ (2 ; 4 ; −1).
Ex 2 — Colinéarité
u⃗ (2 ; 4 ; −1) et v⃗ (4 ; 8 ; −2) = 2 u⃗ : ils sont colinéaires.
Ex 3 — Paramétrique
Droite par A(1 ; 0 ; 2), u⃗ (2 ; 4 ; −1) : x = 1 + 2t, y = 4t, z = 2 − t.
Ex 4 — Appartenance
M(5 ; 8 ; 0) est-il sur la droite précédente ? t = 2 donne (5 ; 8 ; 0) : oui.
Étape 05 / 07
Exercices d'application
Exo 2 · Facile Calculer
u⃗ (1 ; 2 ; 3), v⃗ (−2 ; 0 ; 1). Calcule u⃗ + 2v⃗.
Exo 3 · Moyen Raisonner
Les vecteurs u⃗ (3 ; −1 ; 2) et v⃗ (−6 ; 2 ; −4) sont-ils colinéaires ? Justifie.
Exo 4 · Moyen Représenter
Donne une représentation paramétrique de la droite passant par A(1 ; 1 ; 0) de vecteur directeur u⃗ (2 ; −1 ; 3).
Exo 5 · Moyen Calculer
Le point M(7 ; −2 ; 9) appartient-il à la droite x = 1 + 2t, y = 1 − t, z = 3t ?
Exo 6 · Moyen Raisonner
w⃗ (4 ; 1 ; 5), u⃗ (1 ; 1 ; 1), v⃗ (2 ; −1 ; 3). Montre que w⃗ est coplanaire avec u⃗ et v⃗.
Exo 7 · Défi Raisonner
Deux droites de vecteurs directeurs u⃗ (1 ; 0 ; 1) et v⃗ (0 ; 1 ; 1) passant par des points distincts : sont-elles parallèles, sécantes ou non coplanaires ?
Exo 8 · Défi Communiquer
Un élève dit « deux droites non parallèles de l'espace sont forcément sécantes ». Donne un contre-exemple.
Étape 06 / 07
Synthèse — À retenir
- Vecteur de l'espace : u⃗ (x ; y ; z), calcul coordonnée par coordonnée.
- Colinéaires ⟺ l'un est multiple de l'autre.
- Coplanaires ⟺ w⃗ = a u⃗ + b v⃗.
- Droite paramétrée : x = x_A + tα, y = y_A + tβ, z = z_A + tγ.
- Deux droites peuvent être non coplanaires.
Étape 07 / 07
Plan de révisions
J+1
Refais exos 1 et 2.
J+7
Refais exos 3, 4 et 5.
J+30
Exos 6 et 7.
Pour aller plus loin
Q1. Pourquoi peut-on avoir des droites non coplanaires dans l'espace mais pas dans le plan ?
Q2. Comment le paramètre t décrit-il tous les points d'une droite ?